Calcule a integral

25. ∫ e - x tan ⁡ e - x d x

Passo 1

Aqui vai ser interessante aplicarmos uma substituição simples ao primeiro passo. Vamos chamar de:

u = e - x

e

d u = - e - x d x

Manipulamos um pouco a integral:

∫ e - x tan ⁡ e - x d x = - ∫ - e - x tan ⁡ e - x d x

E agora aplicamos a substituição na integral:

- ∫ - e - x tan ⁡ e - x d x = - ∫ tan ⁡ u d u

Passo 2

A integral da tangente é tabelada, e tem o seguinte resultado genérico:

∫ tan ⁡ u d u = - ln ⁡ cos ⁡ u u ' + C

Não é no momento do nosso interesse fazer a demonstração de como se chega a essa integral, portanto vamos apenas resolvê-la, como pede o exercício.

Aqui, basta aplicarmos o arco dessa tangente no lugar de u e u ' pra obtermos o resultado. Vamos ter:

- ∫ tan ⁡ u d u = - - ln ⁡ cos ⁡ u u ' + C = ln ⁡ cos ⁡ u u ' + C

Passo 3

Agora retornamos à variável original:

∫ e - x tan ⁡ e - x d x = ln ⁡ cos ⁡ u u ' + C = ln ⁡ cos ⁡ e - x - e - x + C

Onde u equivale a e - x e u ' , sua derivada, a - e - x

Resposta

∫ e - x tan ⁡ e - x d x = ln ⁡ cos ⁡ e - x - e - x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados