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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 25

Calcule a integral

25. int e^(- x) tan e^(- x) d x

Passo 1

Aqui vai ser interessante aplicarmos uma substituição simples ao primeiro passo. Vamos chamar de:

u = e^(- x)

e

d u = - e^(- x) d x

Manipulamos um pouco a integral:

int e^(- x) tan e^(- x) d x = - int - e^(- x) tan e^(- x) d x

E agora aplicamos a substituição na integral:

- int - e^(- x) tan e^(- x) d x = - int tan u d u

Passo 2

A integral da tangente é tabelada, e tem o seguinte resultado genérico:

int tan u d u = - (ln |cos u|)/(u ') + C

Não é no momento do nosso interesse fazer a demonstração de como se chega a essa integral, portanto vamos apenas resolvê-la, como pede o exercício.

Aqui, basta aplicarmos o arco dessa tangente no lugar de u e u ' pra obtermos o resultado. Vamos ter:

- int tan u d u = - (- (ln |cos u|)/(u^')) + C = (ln |cos u|)/(u ') + C

Passo 3

Agora retornamos à variável original:

int e^(- x) tan e^(- x) d x = (ln |cos u|)/(u ') + C = (ln |cos e^(- x)|)/(- e^(- x)) + C

Onde u equivale a e^(- x) e u ' , sua derivada, a - e^(- x)

Resposta

int e^(- x) tan e^(- x) d x = (ln |cos e^(- x)|)/(- e^(- x)) + C

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