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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 17

Obtenha u → ortogonal a ( 1 ,   1 ,   0 ) tal que u → = 2 e a medida angular em graus entre u → e ( 1 ,   - 1 ,   0 ) seja 45 ° .

Passo 1

Devemos achar o vetor u → = ( x , y ,   z ) que seja ortogonal a 1 ,   1 ,   0 :

x , y ,   z ⋅ 1 ,   1 ,   0 = 0 ⇒ x + y = 0 ⇒ y = - x

Portanto,

u → = ( x ,   - x ,   z )

Além disso, a norma de u → deve ser 2 :

x 2 + - x 2 + z 2 = 2 ⇒ 2 x 2 + z 2 = 2

Passo 2

O ângulo entre u → e ( 1 ,   - 1 ,   0 ) deve ser 45 ° :

cos ⁡ 45 ° = x ,   - x ,   z ⋅ ( 1 ,   - 1 ,   0 ) u → ⋅ ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Assim,

2 2 = 2 x 2 ⋅ 2 ⇒ x = 2 2

Passo 3

Portanto,

2 ⋅ 2 4 + z 2 = 2 ⇒ z 2 = 1 ⇒ z = ± 1

Desta forma,

u → = 2 2 ,   - 2 2 ,   - 1             o u             u → = 2 2 ,   - 2 2 ,   1

Resposta

u → = 2 2 ,   - 2 2 ,   - 1             o u             u → = 2 2 ,   - 2 2 ,   1

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