Temos F x = ∫ 2 x e t 2 d t . Encontre uma equação da reta tangente para a curva y = F ( x ) no ponto da coordenada x = 2 .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função:

F x = ∫ 2 x e t 2 d t

E nosso objetivo é encontrar a reta tangente á F no ponto x = 2 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Lembrando da equação da reta tangente, temos:

y - y 0 = m x - x 0

Onde m = F ' x 0 .

Para calcular a derivada de F , temos que aplicar a parte 1 do TFC que diz se:

f x = ∫ a x g t d t

Então f ' x = g x .

Veja só!

Passo 2

Vamos começar calculando m ...

m = F ' 2

E pelo teorema fundamental do calculo a gente pode escrever também que:

F ' x = d d x ∫ 2 x e t 2 d t

F ' x = e x 2

Queremos a reta tangente em x = 2 , então aplicamos esse ponto em F '

F ' 2 = e 4

Logo:

m = e 4

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Pela equação da reta tangente que vimos no passo 1, temos:

y - y 0 = m x - x 0 → y - y 0 = e 4 x - 2

Mas ainda precisamos y 0 ...

y 0 = F 2

Então vamos aplicar o ponto x = 2 em F x .

F 2 = ∫ 2 2 e t 2 d t

Que como vai de 2 até 2 a gente não precisa calcular porque é 0 .

F 2 = 0

Então o ponto é:

2,0

Agora substituindo y 0 na equação da reta...

y - y 0 = m x - x 0 → y - 0 = e 4 x - 2

y = e 4 x - 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

y = e 4 x - 2

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