Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 66
Ache o volume comum aos dois cilindros circulares, cada qual com raio , se os eixos dos cilindros se interceptam em ângulos retos.
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! A questão quer que calculemos o volume comum aos dois cilindros circulares:
Onde cada um tem raio e os eixos dos cilindros se interceptam em ângulos retos.
Para isso, temos que lembrar que podemos calcular o volume através da fórmula:
Passo 2
Cada seção transversal do sólido no plano perpendicular ao eixo é um quadrado, um quarto desse quadrado e um oitavo de é visto na figura abaixo:
Temos pela figura que os limites de integração são e , e a área de um quarto de quadrado é dada pela expressão :
Pronto, agora só falta calcular o volume:
Passo 3
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 4
Pronto, já encontramos a integral indefinida.
Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.
Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá: