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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 54

Calcule a integral:

int_0^(ln 2) 4 e^(- theta) senh theta d theta

Passo 1

Sabemos que senh x = (e^x - e^(- x))/(2) , vamos reescrever a integral como:

Então, vamos escrever a integral como uma potência:

int_0^(ln 2) 4 e^(- theta) senh theta d theta = int_0^(ln 2) 4 ( (1)/(e^(theta)) ) ((e^(theta) - e^(- theta))/(2)) d theta = int_0^(ln 2) 4 ( (1)/(e^(theta)) ) ((e^(theta) - e^(- theta))/(2)) d theta = 2 int_0^(ln 2) (1 - e^(- 2 theta)) d theta

Agora é só integrarmos essa última integral:

Passo 2

2 int_0^(ln 2) (1 - e^(- 2 theta)) d theta = [2 (theta + (e^(- 2 theta))/(2))]_0^(l n 2)

Agora a gente joga os limites de integração...

[2 (theta + (e^(- 2 theta))/(2))]_0^(l n 2) = 2 (ln 2 + (e^(- 2 l n 2))/(2)) - 2 (0 + (e^0)/(2)) = 2 (ln 2 + (1)/(8) - (1)/(2)) = ln 4 - (3)/(4)

Resposta

ln 4 - (3)/(4)

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Usando substituição, verifique a equação int_a^b f (x) d x = int_(a - c)^(b - c) f (x + c) d x
Determine a int_0^1 f (x) d x = 3 Determine a integral de int_(- 1)^0 f (x) d x , se f é ímpar.
Suponha que F ( x ) seja uma primitiva de f x = s e n x x , com x0 . Expresse ∫ 1 3 s e n 2 x xd x em termos de F.
Determine a int_0^1 f (x) d x = 3 Determine a integral de int_(- 1)^0 f (x) d x , se f é par.
Para cada uma das seguintes funções, faça o gráfico f ( x ) sobre [ a , b ] e f ( x + c ) sobre [ a - c , b - c ] para se convencer de que a Equação I é razoável. f x = x - 4 , a = 4 ,b = 8 e c = 5