Calcule a integral.

∫ sin 5 ⁡ t cos 4 ⁡ t d t

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, não podemos aplicar uma “integral pronta”, nesse caso a gente usa o método da substituição!!

Não é um “bicho de 187346897 cabeças”, vamos facilitar a nossa vida, reorganizando a integral:

∫ sin 4 ⁡ t cos 4 ⁡ t sin ⁡ t d t

Ou melhor...

∫ sin 2 ⁡ t 2 cos 4 ⁡ t sin ⁡ t d t

Sabendo que sin 2 ⁡ t = 1 - cos 2 ⁡ t , temos

∫ 1 - cos 2 ⁡ t 2 cos 4 ⁡ t sin ⁡ t d t

Para o valor de u a gente escolhe a variável mais simples. “Ah mais sempre vai ser assim??” Geralmente!

u = cos ⁡ t   ;   d u = - sin ⁡ t d t

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

∫ 1 - u 2 2 u 4 ( - d u )

Portanto:

∫ - u 4 + 2 u 6 - u 8 d u

Calculando...

= - u 5 5 + 2 7 u 7 - u 9 9

Substituindo o valor de u :

∫ sin 5 ⁡ t cos 4 ⁡ t d t = - cos 5 ⁡ t 5 + 2 7 cos 7 ⁡ t - cos 9 ⁡ t 9 + C

E não pode esquecer da constante de integraçãoooooo!

Prontinho!!

Resposta

∫ sin 5 ⁡ t cos 4 ⁡ t d t = - cos 5 ⁡ t 5 + 2 cos 7 ⁡ t 7 - cos 9 ⁡ t 9 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados