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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 13

Calcule a integral.

int sin^5 t cos^4 t d t

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, não podemos aplicar uma “integral pronta”, nesse caso a gente usa o método da substituição!!

Não é um “bicho de 187346897 cabeças”, vamos facilitar a nossa vida, reorganizando a integral:

int sin^4 t cos^4 t sin t d t

Ou melhor...

int (sin^2 t)^2 cos^4 t sin t d t

Sabendo que sin^2 t = 1 - cos^2 t , temos

int (1 - cos^2 t)^2 cos^4 t sin t d t

Para o valor de u a gente escolhe a variável mais simples. “Ah mais sempre vai ser assim??” Geralmente!

u = cos t ; d u = - sin t d t

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

int (1 - u^2)^2 u^4 ( - d u )

Portanto:

int - u^4 + 2 u^6 - u^8 d u

Calculando...

= - (u^5)/(5) + (2)/(7) u^7 - (u^9)/(9)

Substituindo o valor de u :

int sin^5 t cos^4 t d t = - (cos^5 t)/(5) + (2)/(7) cos^7 t - (cos^9 t)/(9) + C

E não pode esquecer da constante de integraçãoooooo!

Prontinho!!

Resposta

int sin^5 t cos^4 t d t = - (cos^5 t)/(5) + (2 cos^7 t)/(7) - (cos^9 t)/(9) + C

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(b) Use a substituição hiperbólica x = sinh ⁡ t para mostrar que ∫ d x x 2 + a 2 = sinh - 1 ⁡ x a + C
Calcule a integral ∫ 0 a x 2 a 2 - x 2 d x
Use substituição trigonométrica pra mostrar que ∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ x + x 2 + a 2 + C
Calcule a integral ∫ t 25 - t 2 d t
Calcule a integral ∫ 5 + 4 x - x 2d x