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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 29

Calcule a integral.

29 . int_0^(pi) x sin x cos x d x

Passo 1

Primeiro para resolver essa integral, temos que mexer nela um pouco, para ela ficar com uma cara melhor e vamos fazer isso usando a seguinte identidade trigonométrica.

sin x cos x = (1)/(2) sin (2 x)

Então nossa integral fica:

int_0^(pi) x sin x cos x d x = int_0^(pi) x (1)/(2) sin ( 2 x ) d x = (1)/(2) int_0^(pi) x sin ( 2 x ) d x

Agora precisamos integrar por partes, a fórmula para isso é a seguinte:

int f d g = f g - int g d f

Temos para nossa integral que:

f = x , d g = s in ( 2 x ) d x

d f = d x g = - (1)/(2) cos ( 2 x )

Passo 2

Nossa integral fica assim:

(1)/(2) int_0^(pi) x sin ( 2 x ) d x = (1)/(2) ((- (1)/(2) x cos (2 x))|_0^(pi) - (1)/(2) int_0^(pi) - (1)/(2) cos ( 2 x ) d x

= (- (1)/(4) pi cos (2 pi) - 0) + (1)/(4) int_0^(pi) cos (2 x) d x

= - (pi)/(4) + (1)/(4) int_0^(pi) cos (2 x) d x

Passo 3

Então ficamos com:

- (pi)/(4) + (1)/(4) int_0^(pi) cos (2 x) d x

Continuando a integração temos:

- (pi)/(4) + (1)/(4) (((sin (2 x))/(2))|_0^(pi)

= - (pi)/(4) + (1)/(4) ((sin (2 pi))/(2) - (sin (0))/(2))

= - (pi)/(4)

Resposta

int_0^(pi) x sin x cos x d x = - (pi)/(4)

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