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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 16

Calcule a integral.

16 . int (z)/(10^z) d z

Passo 1

Para começar a resolver essa integral, precisamos integrar por partes, a fórmula para isso é a seguinte:

int f d g = f g - int g d f

Temos para nossa integral que:

f = z , d g = (1)/(10^z)

d f = d z g = - (10^(- z))/(ln 10)

Esse resultado pra g pode ser constatado no início do capítulo 7 , que mostra que:

int b^x d x = (b^x)/(ln b)

Passo 2

Nossa integral fica assim:

int (z)/(10^z) d z = - z (10^(- z))/(ln 10) - int - (10^(- z))/(ln 10) d z

= - z (10^(- z))/(ln 10) + int (10^(- z))/(ln 10) d z

Passo 3

Então ficamos com:

- z (10^(- z))/(ln 10) + int (10^(- z))/(ln 10) d z

Continuando a integração temos:

- z (10^(- z))/(ln 10) + (1)/(ln 10) int 10^(- z) d z

= - z (10^(- z))/(ln 10) - (1)/(ln 10) ((10^(- z))/(ln 10))

= - z (10^(- z))/(ln 10) - (10^(- z))/(ln^2 10)

Resposta

int (z)/(10^z) d z = - z (10^(- z))/(ln 10) - (10^(- z))/(ln^2 10)

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