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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 33

Calcule a integral.

33 . int_0^((pi)/(3)) sin x ln (cos x) d x

Passo 1

Primeiro para resolver essa integral, temos que mexer nela um pouco, para ela ficar com uma cara melhor e vamos fazer isso vamos fazer a seguinte substituição:

u = cos x

d u = - sin x d x

Com isso nossos limites de integração também mudam:

u_1 = cos (pi)/(3) = (1)/(2)

u_2 = cos 0 = 1

Assim nossa integral fica:

int_1^((1)/(2)) - ln u d u

Agora precisamos integrar por partes, a fórmula para isso é a seguinte:

int f d g = f g - int g d f

Temos para nossa integral que:

f = ln ( u ) , d g = d u

d f = (1)/(u) d u g = u

Passo 2

Nossa integral fica assim:

- int_1^((1)/(2)) ln u d u = ((- u ln u)|_1^((1)/(2)) - int_1^((1)/(2)) - u * (1)/(u) d u

= (- (1)/(2) ln ((1)/(2)) + ln 1) + int_1^((1)/(2)) d u

= - (ln ((1)/(2)))/(2) + int_1^((1)/(2)) d u

Passo 3

Então ficamos com:

- (ln ((1)/(2)))/(2) + int_1^((1)/(2)) d u

Continuando a integração temos:

- (ln ((1)/(2)))/(2) + ((u)|_1^((1)/(2))

= - (ln ((1)/(2)))/(2) + ((1)/(2) - 1)

= - (ln ((1)/(2)))/(2) - (1)/(2)

Resposta

int_0^((pi)/(3)) sin x ln (cos x) d x = - (ln ((1)/(2)))/(2) - (1)/(2)

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