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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 30

Questão 30) Calcule a integral indefinida:

int_(- pi)^(pi) z ² cos 2 z d z

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada) não conseguirá resolver
  2. Note que o integrando " z ² cos 2 z " não possui a forma [( sqrt(a^2 - z^2) ), ( sqrt(a^2 + z^2) ), ( sqrt(z^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs: Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Aplicando as técnicas de integração, temos:

int u d v = u v - int v d u

O truque será escolher corretamente quem será u e d v e através deles, determinar d u e v

Passo 2

Bem galera, nota o seguinte, se escolhermos

u = z^2

d u = 2 z d z

Reduzimos o grau do polinômio. Provavelmente essa é uma boa escolha visto que simplifica a integral int v d u . Sendo assim, nos resta:

d v = cos 2 z d z

v = (sin 2 z)/(2)

Substituindo:

int u d v = u v - int v d u

int z^2 cos 2 z d z = (z^2 sin 2 z)/(2) - int ((sin 2 z)/(2)) (2 z) d z

int z^2 cos 2 z d z = (z^2 sin 2 z)/(2) - int z sin 2 z d z

Passo 3

Ok, não terminamos, a integral que sobrou não se resolve diretamente. Note no entanto, que assim como a integral original, ela é um produto de um polinômio e uma trigonométrica. Podemos fazer integração por partes de novo. Escolhendo:

u = z

d u = d z

E também:

d v = sin 2 z d z

v = - (cos 2 z)/(2)

Temos:

int u d v = u v - int v d u

int z sin 2 z d z = - (z cos 2 z)/(2) - int (- (cos 2 z)/(2)) d z

int z sin 2 z d z = - (z cos 2 z)/(2) + (1)/(2) int cos 2 z d z

int z sin 2 z d z = - (z cos 2 z)/(2) + (1)/(2) (sin 2 z)/(2)

int z sin 2 z d z = - (z cos 2 z)/(2) + (sin 2 z)/(4)

Passo 4

Beleza, agora a gente junta o resultado dos passos 2 e 3 e aplica os limites de integração. Ai acabamos por aqui! No passo 2 e 3 achamos, respectivamente:

int z^2 cos 2 z d z = (z^2 sin 2 z)/(2) - int z sin 2 z d z

int z sin 2 z d z = - (z cos 2 z)/(2) + (sin 2 z)/(4)

Portanto:

int z^2 cos 2 z d z = (z^2 sin 2 z)/(2) - [- (z cos 2 z)/(2) + (sin 2 z)/(4)]

int z^2 cos 2 z d z = (z^2 sin 2 z)/(2) + (z cos 2 z)/(2) - (sin 2 z)/(4)

Aplicando os limites de integração:

int_(- pi)^(pi) z^2 cos 2 z d z = ((z^2 sin 2 z)/(2) + (z cos 2 z)/(2) - (sin 2 z)/(4)|_(z = - pi)^(z = pi)

int_(- pi)^(pi) z^2 cos 2 z d z = ((pi^2 sin (2 pi))/(2) + (pi cos (2 pi))/(2) - (sin (2 pi))/(4)) - ((pi^2 sin (- 2 pi))/(2) - (pi cos (- 2 pi))/(2) - (sin (- 2 pi))/(4))

int_(- pi)^(pi) z^2 cos 2 z d z = (0 + (pi)/(2) - 0) - (0 - (pi)/(2) - 0)

int_(- pi)^(pi) z^2 cos 2 z d z = (pi)/(2) + (pi)/(2) = pi

Resposta

int_(- pi)^(pi) z^2 cos 2 z d z = pi

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