Questão 30) Calcule a integral indefinida:

∫ - π π z ² cos ⁡ 2 z d z

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada) não conseguirá resolver
  2. Note que o integrando   " z ² cos ⁡ 2 z " não possui a forma [( a 2 - z 2 ), ( a 2 + z 2 ), ( z 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs: Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Aplicando as técnicas de integração, temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

O truque será escolher corretamente quem será u e d v e através deles, determinar d u e v

Passo 2

Bem galera, nota o seguinte, se escolhermos

u = z 2

d u = 2 z   d z

Reduzimos o grau do polinômio. Provavelmente essa é uma boa escolha visto que simplifica a integral ∫ v   d u . Sendo assim, nos resta:

d v = cos ⁡ 2 z   d z

v = sin ⁡ 2 z 2

Substituindo:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ z 2 cos ⁡ 2 z   d z = z 2 sin ⁡ 2 z 2 - ∫ sin ⁡ 2 z 2 2 z   d z

∫ z 2 cos ⁡ 2 z   d z = z 2 sin ⁡ 2 z 2 - ∫ z sin ⁡ 2 z   d z

Passo 3

Ok, não terminamos, a integral que sobrou não se resolve diretamente. Note no entanto, que assim como a integral original, ela é um produto de um polinômio e uma trigonométrica. Podemos fazer integração por partes de novo. Escolhendo:

u = z

d u = d z

E também:

d v = sin ⁡ 2 z   d z

v = - cos ⁡ 2 z 2

Temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ z sin ⁡ 2 z   d z = - z cos ⁡ 2 z 2 - ∫ - cos ⁡ 2 z 2   d z

∫ z sin ⁡ 2 z   d z = - z cos ⁡ 2 z 2 + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 z   d z

∫ z sin ⁡ 2 z   d z = - z cos ⁡ 2 z 2 + 1 2 sin ⁡ 2 z 2

∫ z sin ⁡ 2 z   d z = - z cos ⁡ 2 z 2 + sin ⁡ 2 z 4

Passo 4

Beleza, agora a gente junta o resultado dos passos 2 e 3 e aplica os limites de integração. Ai acabamos por aqui! No passo 2 e 3 achamos, respectivamente:

∫ z 2 cos ⁡ 2 z   d z = z 2 sin ⁡ 2 z 2 - ∫ z sin ⁡ 2 z   d z

∫ z sin ⁡ 2 z   d z = - z cos ⁡ 2 z 2 + sin ⁡ 2 z 4

Portanto:

∫ z 2 cos ⁡ 2 z   d z = z 2 sin ⁡ 2 z 2 - - z cos ⁡ 2 z 2 + sin ⁡ 2 z 4

∫ z 2 cos ⁡ 2 z   d z = z 2 sin ⁡ 2 z 2 + z cos ⁡ 2 z 2 - sin ⁡ 2 z 4

Aplicando os limites de integração:

∫ - π π z 2 cos ⁡ 2 z   d z = z 2 sin ⁡ 2 z 2 + z cos ⁡ 2 z 2 - sin ⁡ 2 z 4 z = - π z = π

∫ - π π z 2 cos ⁡ 2 z   d z = π 2 sin ⁡ 2 π 2 + π cos ⁡ 2 π 2 - sin ⁡ 2 π 4 - π 2 sin ⁡ - 2 π 2 - π cos ⁡ - 2 π 2 - sin ⁡ - 2 π 4

∫ - π π z 2 cos ⁡ 2 z   d z = 0 + π 2 - 0 - 0 - π 2 - 0

∫ - π π z 2 cos ⁡ 2 z   d z = π 2 + π 2 = π

Resposta

∫ - π π z 2 cos ⁡ 2 z   d z = π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados