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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 31

Questão 31: calcule a integral indefinida

int_0^(pi // 4) e^(3 x) s e n (4 x) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando e^(3 x) s e n (4 x) não aparece da forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs. Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

O segundo passo importante é analisar a formula de integração por partes;

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x )

Note que devemos encontrar todos os termos da fórmula , então façamos

f(x)= e^(3 x) d e r i v a n d o f^' (x) = 3 e^(3 x)

g’(x) = sen4x integrando g(x)= -cos4x/4

substituindo na formula, temos:

int_()^() e^(3 x) s e n (4 x) d x =- e^(3 x) .cos4x/4 + 3 // 4 int e^(3 x) c o s 4 x d x

Passo 3

Note que devemos aplicar novamente integração por partes nessa integral,

int e^(3 x) c o s 4 x d x

Seja f(x)= e^(3 x) d e r i v a n d o f’(x)= 3 e^(3 x) e

Seja g’(x)= c o s 4 x integrando g(x)= sen4x/4

Usando esses termos na formulas temos;

int e^(3 x) cos 4 x d x = e^(3 x) . sen4x/4 – 3/4 int e^(3 x) s e n 4 x d x

Substituindo na equação geral, temos;

int_()^() e^(3 x) s e n (4 x) d x =- e^(3 x) .cos4x/4 + 3 // 4 int e^(3 x) c o s 4 x dx

int_()^() e^(3 x) s e n (4 x) d x = - e^(3 x) .cos4x/4 + 3/4 ( e^(3 x) . sen4x/4 – 3/4 int e^(3 x) . sen4xdx )

( int_()^() e^(3 x) s e n (4 x) d x = 16 // 25 ( - (e^(3 x) c o s 4 x)/(4) + (3 e^(3 x) s e n 4 x)/(16) )

Passo 4

Note que nos passos anteriores desconsideramos os intervalos de integração, agora sim podemos aplicar os intervalos;

int_0^(pi // 4) e^(3 x) s e n (4 x) d x = { 16 // 25 (- (e^(3 pi // 4) c o s pi)/(4) + (3 e^(3 pi // 4) s e n pi)/(16)) } - {( 16 // 25 ( - (e^0 c o s 0)/(4) + (3 e^0 s e n 0)/(16) ) )

Resposta

int_0^(pi // 4) e^(3 x) s e n (4 x) d x = 4 // 25 ( e^((3 pi)/(4)) + 1 )

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