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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 38

Primeiro faça uma substituição e depois use a integração por partes para avaliar a integral.

38 .   ∫ cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) d x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. A questão é bem mandona sobre o que fazer, e manda quem pode obedece quem tem juízo.

Aqui iremos realizar uma substituição, então devemos analisar qual facilitaria nossa vida e após isso iremos realizar a integração por partes.

Adianto aqui a você que a integração por partes que iremos realizar se faz necessária pois após a substituição, teremos um produto de funções, e a integração por partes é fortemente aconselhada nessas situações.

Passo 2

Primeiro para resolver essa integral, temos que mexer nela um pouco, para ela ficar com uma cara melhor e vamos fazer isso vamos fazer a seguinte substituição:

u = ln ⁡ ( x )

⇒ x = e u

d u = 1 x d x

Assim nossa integral fica:

∫ e u cos ⁡ u d u

Passo 3

Agora precisamos integrar por partes, a fórmula para isso é a seguinte:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Temos para nossa integral que:

f = cos ⁡ ( u ) ,             d g = e u d u

d f = - sin ⁡ ( u ) d u                 g = e u

Nossa integral fica assim:

∫ e u cos ⁡ u d u = e u cos ⁡ ( u ) + ∫ e u sin ⁡ ( u )   d u

Passo 4

Teremos que usar partes mais uma vez no termo:

∫ e u sin ⁡ ( u )   d u

Temos para nossa integral que:

f = sin ⁡ ( u ) ,             d g = e u d u

d f = cos ⁡ ( u ) d u                 g = e u

Então a integral fica:

∫ e u sin ⁡ ( u )   d u = e u sin ⁡ ( u ) + e u cos ⁡ ( u ) - ∫ e u cos ⁡ ( u ) d u

Passo 5

Agora temos o seguinte:

∫ e u sin ⁡ ( u )   d u = e u sin ⁡ ( u ) + e u cos ⁡ ( u ) - ∫ e u cos ⁡ ( u ) d u

Passando a integral do lado direito para o lado esquerdo já que elas são iguais, temos:

∫ e u sin ⁡ u   d u + ∫ e u cos ⁡ u d u = e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u

⇒ 2 ∫ e u cos ⁡ u d u = e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u

⇒ ∫ e u cos ⁡ u d u = e u sin ⁡ u 2 + e u cos ⁡ u 2

⇒ ∫ e u cos ⁡ u d u = e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u 2

Resposta

∫ e u cos ⁡ u d u = e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u 2

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