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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 4

Calcule a integral.

4 . int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x

Passo 1

Fala aí! como vai? 😬

Nesse problema queremos calcular a integral

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x

Parece dificil? 👀

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

x = 3 sin theta

theta = sin^(- 1) ((x)/(3))

d x = 3 cos theta d theta

Veja só! 👀

Passo 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x = int (( 3 sin theta )^2)/(sqrt(9 - ( 3 sin theta )^2)) 3 cos theta d theta

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x = int (( 3 sin theta )^2)/(3 cos theta) 3 cos theta d theta

Simplificando...

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x = int 9 sin^2 theta

Agora para prosseguir na integração teremos que lembrar da seguinte identidade:

sin^2 theta = (1 - cos (2 theta))/(2)

Então:

9 int (1 - cos (2 theta))/(2) d theta = (9)/(2) int d theta - (9)/(2) int cos (2 theta) d theta

9 int (1 - cos (2 theta))/(2) d theta = (9)/(2) theta - (9)/(2) (sin 2 theta)/(2)

9 int (1 - cos (2 theta))/(2) d theta = (9)/(2) theta - (9)/(4) sin 2 theta

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora temos que voltar a variável original, para isso temos que escrever aquele sin 2 theta em termos somente de theta , então temos que manipular essa expressão, vamos lá:

Primeiro temos que:

sin 2 theta = 2 sin theta cos theta

Temos que:

cos theta = sqrt(1 - sin^2 theta)

Logo:

sin 2 theta = 2 sin theta sqrt(1 - sin^2 theta)

Agora, lembrando que x = 3 sin theta e consequentemente theta = sin^(- 1) ((x)/(3))

Então:

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x = (9)/(2) theta - (9)/(4) 2 sin theta sqrt(1 - sin^2 theta)

Aplicando a substituição...

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x = (9)/(2) sin^(- 1) ((x)/(3)) - (9)/(4) 2 (x)/(3) sqrt(1 - (x^2)/(9))

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x = (9)/(2) sin^(- 1) ((x)/(3)) - (3)/(2) x sqrt((9 - x^2)/(9))

E finalmente...

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x = (9)/(2) sin^(- 1) ((x)/(3)) - (1)/(2) x sqrt(9 - x^2)

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 🤔

Resposta

int (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) d x = (9)/(2) sin^(- 1) ((x)/(3)) - (1)/(2) x sqrt(9 - x^2)

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