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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 6

Calcule os limites

underset(t -> oo)(lim) 〈arctan t hat i , e^(- 2 t) hat j , (ln t)/(t) hat k〉

Passo 1

Para calcular o limite de uma função vetorial precisamos calcular o limite de cada componente.

Passo 2

Limite da componente i :

underset(t -> oo)(lim) arctan t = arctan oo = (pi)/(2)

Limite da componente j :

underset(t -> oo)(lim) e^(- 2 t) = underset(t -> oo)(lim) (1)/(e^(2 t)) = 0

Limite da componente k :

underset(t -> oo)(lim) (ln t)/(t)

Se substituirmos t = oo no numerador e no denominador temos que ambos vão para infinito, então podemos utilizar a regra de L’Hôspital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador:

underset(t -> oo)(lim) (1 // t)/(1) = underset(t -> oo)(lim) (1)/(t) = 0

Passo 3

Desta forma: underset(t -> 1)(lim) (arctan t i + e^(- 2 t) j + (ln t)/(t) k) = ( (pi)/(2) i + 0 j + 0 k )

Resposta

underset(t -> 1)(lim) (arctan t i + e^(- 2 t) j + (ln t)/(t) k) = ( (pi)/(2) i + 0 j + 0 k )

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