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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 51

Se a equação de uma superfície S é z = f x , y ,   onde x 2 + y 2 ≤ R 2 e você sabe que f x ≤ 1 e f y ≤ 1   o que você pode dizer sobre A(S)?

Passo 1

E aí, gente legal! 😉

A questão quer saber da gente alguma informação sobre a área da superfície S da função

z = f x , y

Onde temos um cilindro

x 2 + y 2 ≤ R 2

E as derivadas parciais

f x ≤ 1

f y ≤ 1

Para o cálculo da área de superfície, temos essa fórmula aqui:

A = ∬ 1 + f x 2 + f y 2 d A

É a partir dela que iremos manipular tudo.

Passo 2

Jogando na fórmula, temos:

1 + f x 2 + f y 2

Onde

0 ≤ f x 2 ≤ 1

0 ≤ f y 2 ≤ 1

Assim nós teremos

1 + 1 2 + 1 2 = 3

Por consequência, temos:

1 ≤ 1 + f x 2 + f y 2 ≤ 3

Integrando essa desigualdade nós ficaremos com

∬ 1 d A ≤ ∬ 1 + f x 2 + f y 2 d A ≤ ∬ 3 d A

A D ≤ A S ≤ 3 A ( D )

Onde A(D) é a área delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 ≤ R 2 e

A D = π R 2

Portanto, a área A(S) será limitada por:

π R 2 ≤ A S ≤ 3 π R 2

Resposta

π R 2 ≤ A S ≤ 3 π R 2

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