Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 17
Calcule a integral de superfície.
é o hemisfério .
Passo 1
E aí, pessoal! Como estão?
A questão pede a integral de superfície:
é o hemisfério
Onde .
Como estamos lidando com um hemisfério, que é metade da esfera, isso pode ser um indicativo de que vamos usar coordenadas esféricas.
Podemos usar a equação:
Então, vamos precisar achar uma parametrização para o nosso cilindro para cada variável , e . Depois, devemos aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:
Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores e e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:
E:
Daí, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!
Vamos lá!
Passo 2
Galera, vamos lembrar que podemos usar coordenadas esféricas aqui:
Como é o raio da esfera e nossa equação é:
Nosso raio é :
Então nossas equações paramétricas se tornam:
E podemos escrever nosso vetor paramétrico como:
Podemos achar os vetores:
- :
- :
Derivando em , tratando como constante:
Derivando em , tratando como constante:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial:
Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:
Então:
Agora, podemos tirar o módulo desse nosso vetor:
Assim,
Simplificando a expressão, ficamos com:
Passo 4
Já podemos pensar nos nossos limites de integração: como temos uma esfera completa no plano
Como temos somente metade da esfera em relação ao eixo , nosso ângulo percorre só metade do caminho, então:
Substituindo:
E:
Assim, podemos escrever a integral, simplificando os termos:
Passo 5
Show! Agora vamos resolver a integral:
Separamos a integral em um produto de integrais:
Resolvendo cada integral:
Aplicando seus limites: