Considere o arco da parábola no plano compreendido entre as semi-retas e , com . Seja a superfície obtida girando-se em torno do eixo . Pede-se:
- Uma parametrização para .
Passo 1
Veja a figura a seguir:
Note que estamos no plano ! Inicialmente, vamos determinar as coordenadas dos pontos e :
- Para o ponto :
- Para o ponto :
Resolvendo essa equação por Bhaskara, temos:
Como vemos na figura, . Assim,
Resolvendo essa equação por Bhaskara, temos:
Novamente, vemos que . Assim,
Passo 2
Como rodamos a parábola em torno do eixo , criamos círculos no eixo e . Veja:
O raio desses círculos irá variar entre . Portanto, nossa parametrização será:
Veja que para que seja possível percorrer inteiramente cada círculo!
Resposta
Uma parametrização é , com , .