Considere γ o arco da parábola z = 3 - y 2 no plano y z compreendido entre as semi-retas z = z = 2 y e z = 11 2 y , com y ≥ 0 . Seja S a superfície obtida girando-se γ em torno do eixo z . Pede-se:

  1. Uma parametrização para S .

Passo 1

Veja a figura a seguir:

Note que estamos no plano y z ! Inicialmente, vamos determinar as coordenadas dos pontos A e B :

  1. Para o ponto A :
  2. z = 11 2 y z = 3 - y 2 ⟹ 11 2 y = 3 - y 2 ∴ 2 y 2 + 11 y - 6 = 0

    Resolvendo essa equação por Bhaskara, temos:

    y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a y = - 11 ± 11 2 - 4 2 - 6 2 ⋅ 2 = - 11 ± 13 4

    Como vemos na figura, y > 0 . Assim,

    y = - 11 + 13 4 = 1 2

  3. Para o ponto B :

z = 2 y z = 3 - y 2 ⟹ 2 y = 3 - y 2 ∴ y 2 + 2 y - 3 = 0

Resolvendo essa equação por Bhaskara, temos:

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a y = - 2 ± 2 2 - 4 1 - 3 2 ⋅ 1 y = - 2 ± 4 2

Novamente, vemos que y > 0 . Assim,

y = 1

Passo 2

Como rodamos a parábola em torno do eixo z , criamos círculos no eixo x e y . Veja:

O raio desses círculos irá variar entre 1 2 ≤ r ≤ 1 . Portanto, nossa parametrização será:

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   3 - r 2 ,     1 2 ≤ r ≤ 1 ,         0 ≤ θ ≤ 2 π

Veja que 0 ≤ θ ≤ 2 π para que seja possível percorrer inteiramente cada círculo!

Resposta

Uma parametrização é φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   3 - r 2 , com 1 2 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π .

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