1. ∬_S (x^2 + y^2) d S , onde S é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 .

Passo 1

Vamo lá cara!!

Olha só, pela Definição 7.4 do livro, temos que a integral de superfície de f sobre S será:

∬_S f d s = ∬_D f (phi (u , v)) ‖(delta phi)/(delta u) xx (delta phi)/(delta v)‖ d u d v

Temos que S é uma esfera dada por x^2 + y^2 + z^2 = a^2 , vamos parametrizar ela pra resolver essa integral de superfície ai.

Vamo lá, a parametrização de uma esfera é dada por:

phi (varphi , theta) = ( a sen varphi cos theta , a sen varphi sen theta , a cos varphi )

Com,

0 <= varphi <= pi

0 <= theta <= 2 pi

Temos um macetezinho para achar ‖(delta phi)/(delta u) xx (delta phi)/(delta v)‖ , olha só:

‖(delta phi)/(delta u) xx (delta phi)/(delta v)‖ = r^2 sen varphi

Em uma esfera, vai ser isso ai, ai só substituímos o raio, pro nosso caso, teremos:

‖(delta phi)/(delta u) xx (delta phi)/(delta v)‖ = a^2 sen varphi

Passo 2

Assim,

∬_S f d s = int_0^(2 pi) int_0^(pi) (a^2 sen^2 varphi ( cos^2 theta + sen^2 theta) ) * a^2 sen varphi d varphi d theta = int_0^(2 pi) int_0^(pi) a^4 sen^3 varphi d varphi d theta = a^4 int_0^(2 pi) int_0^(pi) sen varphi ( 1 - cos^2 varphi ) d varphi d theta = a^4 int_0^(2 pi) int_0^(pi) sen varphi - sen varphi cos^2 varphi d varphi d theta = (8 pi a^4)/(3)

Resposta

(8 pi a^4)/(3)

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