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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 30

Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 4 n  

Passo 1

Primeiramente, vamos observar a convergência da série pelo Teste da Série Alternada.

A série deve satisfazer as condições abaixo para ser convergente:

i   b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Sabemos que b n = 1 / n 4 n .

Vamos verificar as condições:

i   b n + 1 ≤ b n

1 ( n + 1 ) 4 n + 1 ≤ 1 n 4 n

Como o denominador do termo da esquerda é maior que do termo da direita e o numerador pe igual para ambos, podemos dizer que b n + 1 ≤ b n . Portanto a primeira condição é satisfeita.

i i   lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 n = 0

Logo, a segunda condição também é satisfeita e a série é convergente.

Passo 2

Para termos uma ideia de quantos termos precisamos usar em nossa aproximação, vamos escrever os primeiros termos da série

s = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 4 n = 1 4 - 1 32 + 1 192 - 1 1024 …

Queremos a soma com precisão de quatro casas decimais, ou seja, as alterações a partir da quinta casa decimal não nos interessa. Olhando a soma acima, vemos que

1 1024 = 0,000 97

Portanto ainda há mudança na quarta casa decimal, porém está bem próximo da quinta casa.

Vamos então continuar nossa busca e avaliar o próximo termo:

b 5 = 1 5120 = 0,000195

b 6 = - 1 24576 = 0,000 0407

Portanto, adicionar esse termo b 6 à soma s não causará nenhuma mudança no quarto dígito.

Logo, a soma será igual a

s = 1 4 - 1 32 + 1 192 - 1 1024 + 1 5120 = 0,2231

Resposta

s = 0,2231

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