Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 50
Determine a área da superfície.
A parte da esfera que está dentro do cilindro onde .
Passo 1
Faala, galera!
Nessa questão temos que calcular a área de uma superfície.
Pra isso, vamos usar a fórmula:
Onde é a superfície definida por
E é o domínio dessa superfície no plano .
Vamos começar definindo quem é e . Depois, calculamos as derivadas parciais de , e os limites de integração de .
Então, nosso problema vira uma integral dupla.
Antes de começar, vamos fazer uma simplificação. Como uma esfera é uma superfície simétrica, vamos considerar só a parte para , e fazer:
Passo 2
Bom, a esfera é definida por:
Isolando :
Como estamos em :
E essa é a nossa função :
Já o domínio dessa parte da esfera é limitado por:
Então nosso domínio é:
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro derivando em função de , com constante, usamos a regra da cadeia:
E derivando em função de , fazemos a mesma coisa:
Passo 4
O nosso domínio é limitado pelo cilindro:
Ou seja, temos que
Podemos fazer uma mudança de variáveis para variáveis polares:
Sem esquecer do jacobiano:
Como nessas coordenadas temos:
O limite do domínio é dado por:
Como sabemos que tanto quando são positivos:
E
Passo 5
Vamos reescrever a integral:
Resolvendo o quadrado:
Agora vamos aplicar a mudança de variáveis, com :
Vamos juntas esses dois termos dentro da raiz:
Como :
Passo 6
Agora só falta calcularmos essa integral!
Vamos separar em duas integrais:
A primeira é fácil de resolver:
Passo 7
Pra segunda, vamos fazer uma substituição
Então:
Podemos tirar o e o da integral, por serem constantes, e o “” faz os limites de integração se inverterem:
Integrando:
Substituindo os limites de integração:
Como ,
Então