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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 9

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície   ∫ ∫ S F ⋅ d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F x , y , z = x e y i + ( z - e y ) j - x y k

S é o elipsoide x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 .

Passo 1

Fala, galera legal! Tudo belezal? 😊

Então, a questão quer o cálculo da integral de superfície pelo Teorema da Divergência, onde o fluxo do campo vetorial F é dado por

F x , y , z = x e y i + ( z - e y ) j - x y k

Em relação à superfície S definida por um elipsoide

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4

Galera, o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss é o seguinte: se temos um região sólida E e seja S uma superfície que faz fronteira com E , orientada positivamente (para fora) e F é um mcapo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha E ,

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E d i v F → d V

Ou seja, temos que calcular o divergente ( ∇ ) do campo F → que é dado pelas derivadas parciais do campo:

F = P i + Q j + R k

Então,

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Passo 2

Temos que nosso campo vetorial é dado por

F = x e y i + z - e y j - x y k

Então, vamos calcular o divergente dele! Mas quem é P ,   Q e R ?

F x , y , z = x e y ⏟ P i + ( z - e y ⏟ Q ) j - x y ⏟ R k

Agora, vamos calcular as derivadas de cada termo:

∂ P ∂ x x e y → e y

∂ Q ∂ y z - e y → - e y

∂ R ∂ z - x y → 0

Somando tudo:

d i v F = e y - e y - 0 = 0

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E 0   d V

Ou seja,

∬ S F → ⋅ d S → = 0

Show de bolinha! 😉

Resposta

∬ S F → ⋅ d S → = 0

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Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = 4 x 3 z i → + 4 y 3 z j → + 3 z 4 k → , S é a esfera
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