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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 20

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S

S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 , juntamente com os discos do fundo e do topo

Passo 1

Fala, galera!

A questão quer o cálculo dessa integral de superfície aqui:

∫ ∫ S   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S

Sendo a região S definida por parte do cilindro

y 2 + z 2 = 9

Que está entre os planos

z = 0 ,   z = 2

Coladinhos com os discos do fundo e do topo desse cilindro. Sinistroooo!

Gente, pra resolver essa questão precisamos ter em mente que S será composta por três superfícies, ou seja,

∫ ∫ S 1   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S + ∫ ∫ S 2   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S + ∫ ∫ S 3   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d S

Onde faremos o cálculo da superfície lateral do cilindro ( S 1 ) , da superfície no disco do topo ( S 2 ) e no disco do fundo ( S 3 ) .

Como também estamos trabalhando com um cilindro, vamos parametrizar tudo com coordenadas cilíndricas, hein?

x = r c o s θ

y = r s e n   θ

z = z

r 2 = x 2 + y 2

x , y , z = ( r , θ ,   z )

Passo 2

Vamos chamar de S 1 a superfície lateral do cilindro.

Primeiro, vamos descobrir quem é o nosso d S pelo módulo do produto vetorial de

d S = r u × r v

Sabendo que o cilindro é dado por

x 2 + y 2 = 9

De raio 3 , então substituímos nas coordenadas cilíndricas, tendo como parametrização o vetor representativo para a superfície:

r θ ,   z = 3 cos ⁡ θ i + 3   s e n   θ   j + z   k

0 ≤ θ ≤ 2 π   ,       0 ≤ z ≤ 2

Observe que normalmente temos ( r ,   θ ,   z ) , mas nessa parte agora já temos como r = 3 , então não será nosso foco colocar o r dentro dos parâmetros.

Agora faremos as derivadas parciais de r em relação a θ e a z .

r θ = 3 cos ⁡ θ   i - 3 s e n θ   j + 0 k

r z = 0 i + 0 j + 1 k

Onde, resolvendo por qualquer método viável,

r θ × r z = i j k 3 c o s θ - 3 s e n θ 0 0 0 1

r θ × r z = - 3 s e n θ i - 3 c o s θ j + 0 k

Cujo módulo é igual a

r θ × r z = - 3 s e n θ 2 + - 3 c o s θ 2 + 0 2 = 3

Então, jogando tudo isso na integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 9 + z 2 3   d z   d θ

Resolvendo e substituindo os limites de integração, chegaremos a

3 2 π 9 z + z 3 3 0 2 = 6 π 18 + 8 3 = 124 π

Passo 3

Agora vamos considerar a superfície S 2 , o disco do topo, parametrizando do mesmo jeito que no passo anterior, com z = 2 .

r θ ,   r = r cos ⁡ θ i + r   s e n   θ   j + 2   k

0 ≤ r ≤ 3   ,       0 ≤ θ ≤ 2 π

Observe que normalmente temos ( r ,   θ ,   z ) , mas nessa parte agora já temos como z = 2 , então não será nosso foco colocar o z dentro dos parâmetros.

Fazendo as derivadas parciais de r em relação a θ e a r .

r θ = - r s e n θ i + r c o s θ j + 0 k

r r = c o s θ i + s e n θ j + 0 k

E fazendo o módulo do produto vetorial, como igualmente fizemos no passo anterior, chegaremos a

r θ × r r = r

Então, colocando tudo na integral...

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 ⏟ x 2 + y 2 + 4 ⏟ z 2 r   d r   d θ

Organizando essa integral, dividindo ela de acordo com seus termos:

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 r 2 + 4 r   d r

2 π r 4 4 + 2 r 2 0 3

Substituindo os limites de integração...

2 π 81 4 + 18 = 153 2 π

Passo 4

Por último, vamos considerar a superfície S 3 , o disco do fundo, com os parâmetros:

r θ ,   r = r cos ⁡ θ i + r   s e n   θ   j + 0   k  

0 ≤ r ≤ 3   ,       0 ≤ θ ≤ 2 π

Ou seja, igualzinho o disco da parte de cima. Onde o módulo do produto vetorial será:

r θ × r r = r

Mas com uma diferença! O plano é

z = 0

Com isso, teremos

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 ⏟ x 2 + y 2 + 0 r   d r   d θ

Reorganizando a integral como fizemos no passo anterior:

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 r 2 r   d r

Assim...

2 π r 4 4 0 3 = 2 π 81 4 = 81 2 π

Passo 5

Por fim, podemos somar o resultado das integrais das superfícies que encontramos:

∫ ∫ S 1   x 2 + y 2 + z 2   d S + ∫ ∫ S 2   x 2 + y 2 + z 2   d S + ∫ ∫ S 3   x 2 + y 2 + z 2   d S

124 π + 153 2 π + 81 2 π

241 π

Show de bola! 😊

Resposta

241 π

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Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:c ) f (x , y , z) = x^2 + y^2 ; sigma (u , v) = (u , v , u^2 + v^2) , u^2 + v^2 = 1 .
Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:f (x , y , z) = x y ; sigma (u , v) = (u - v , u + v , 2 u + v + 1) , 0 = u = 1 e 0 = v = u .
Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:d ) f (x , y , z) = y ; sigma (u , v) = (u , v , 1 - u^2) , 0 = u = 1 ; 0 = v = sqrt(u) .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = x 2 + y 2 ;σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 1 . (Fica entendido aqui que σ é a parametrização mais “natural” do conjunto dado).
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: g )f x , y , z = x ;σ é a parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 1ez = 3 .