Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 20
Calcule a integral de superfície.
é a parte do cilindro entre os planos e , juntamente com os discos do fundo e do topo
Passo 1
Fala, galera!
A questão quer o cálculo dessa integral de superfície aqui:
Sendo a região definida por parte do cilindro
Que está entre os planos
Coladinhos com os discos do fundo e do topo desse cilindro. Sinistroooo!
Gente, pra resolver essa questão precisamos ter em mente que será composta por três superfícies, ou seja,
Onde faremos o cálculo da superfície lateral do cilindro , da superfície no disco do topo e no disco do fundo .
Como também estamos trabalhando com um cilindro, vamos parametrizar tudo com coordenadas cilíndricas, hein?
Passo 2
Vamos chamar de a superfície lateral do cilindro.
Primeiro, vamos descobrir quem é o nosso pelo módulo do produto vetorial de
Sabendo que o cilindro é dado por
De raio , então substituímos nas coordenadas cilíndricas, tendo como parametrização o vetor representativo para a superfície:
Observe que normalmente temos , mas nessa parte agora já temos como , então não será nosso foco colocar o dentro dos parâmetros.
Agora faremos as derivadas parciais de em relação a e a .
Onde, resolvendo por qualquer método viável,
Cujo módulo é igual a
Então, jogando tudo isso na integral:
Resolvendo e substituindo os limites de integração, chegaremos a
Passo 3
Agora vamos considerar a superfície , o disco do topo, parametrizando do mesmo jeito que no passo anterior, com .
Observe que normalmente temos , mas nessa parte agora já temos como , então não será nosso foco colocar o dentro dos parâmetros.
Fazendo as derivadas parciais de em relação a e a .
E fazendo o módulo do produto vetorial, como igualmente fizemos no passo anterior, chegaremos a
Então, colocando tudo na integral...
Organizando essa integral, dividindo ela de acordo com seus termos:
Substituindo os limites de integração...
Passo 4
Por último, vamos considerar a superfície , o disco do fundo, com os parâmetros:
Ou seja, igualzinho o disco da parte de cima. Onde o módulo do produto vetorial será:
Mas com uma diferença! O plano é
Com isso, teremos
Reorganizando a integral como fizemos no passo anterior:
Assim...
Passo 5
Por fim, podemos somar o resultado das integrais das superfícies que encontramos:
Show de bola! 😊