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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1e

Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

d )   f x , y , z = x 2 + y 2 ;   σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   z ≥ 1 . (Fica entendido aqui que σ é a parametrização mais “natural” do conjunto dado).

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos escrever uma parametrização para a superfície. Vamos chamar x = u e y = v . Daí teremos a parametrização:

σ u , v = u , v ,   4 - u 2 - v 2  

As derivadas parciais então são:

∂ σ ∂ u = 1,0 , - u 4 - u 2 - v 2

∂ σ ∂ v = 0,1 ,   - v 4 - u 2 - v 2

Passo 2

Fazendo o produto vetorial agora:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 - u 4 - u 2 - v 2 0 1 - v 4 - u 2 - v 2

= i → 0 - u 4 - u 2 - v 2 1 - v 4 - u 2 - v 2 - j → 1 - u 4 - u 2 - v 2 0 - v 4 - u 2 - v 2 + k → 1 0 0 1

= u 4 - u 2 - v 2 i → -   j → - v 4 - u 2 - v 2 + k → ( 1 )

= u 4 - u 2 - v 2 i → + v 4 - u 2 - v 2 j → + 1 k →

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = u 4 - u 2 - v 2 2 + v 4 - u 2 - v 2 2 + ( 1 ) 2 = u 2 + v 2 4 - u 2 - v 2 + 1

= 2 4 - u 2 - v 2

Passo 3

Usando coordenadas polares, a gente fica com:

x 2 + y 2 = ρ 2

E z = 4 - ρ 2 . Como temos z ≥ 1 , podemos fazer:

4 - ρ 2 ≥ 1

4 - ρ 2 ≥ 1

- ρ 2 ≥ 3

ρ ≤ 3

Então podemos dizer que o intervalo de ρ é: 0 ≤ ρ ≤ 3 .

Montando a integral então temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ρ 2 2 4 - ρ 2   ρ d ρ d θ

Passo 4

Integrando agora ficamos com:

∫ 0 2 π - 2 3 4 - x 2 x 2 + 8 0 3 d θ

∫ 0 2 π - 2 3 11 + 2 3 2 8 d θ

∫ 0 2 π 10 3 d θ

= 20 π 3

Prontinho! Integral calculada😉

Resposta

20 π 3

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