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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1c

Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:

c ) f (x , y , z) = x^2 + y^2 ; sigma (u , v) = (u , v , u^2 + v^2) , u^2 + v^2 <= 1 .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬_K f (sigma (u , v)) ||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

(del sigma)/(del u) = (1,0 , 2 u)

(del sigma)/(del v) = (0,1 , 2 v)

Fazendo o produto vetorial agora:

(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v) = [[[vec i,vec j,vec k],[1,0,2,u],[0,1,2,v]]]

= vec i |[[0,2,u],[1,2,v]]| - vec j |[[1,2,u],[0,2,v]]| + vec k |[[1,0],[0,1]]|

= (- 2 u) vec i - vec j (2 v) + vec k ( 1 )

= - 2 u vec i - 2 v vec j + 1 vec k

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| = sqrt((- 2 u)^2 + (- 2 v)^2 + ( 1 )^2) = sqrt(4 u^2 + 4 v^2 + 1)

Prontinho! Agora a gente joga tudo na fórmula:

∬_K ( u^2 + v^2 ) sqrt(4 u^2 + 4 v^2 + 1) d u d v

Vamos passar esse pra coordenadas polares, vai ficar:

int_0^(2 pi) int_0^1 rho^2 sqrt(4 rho^2 + 1) rho d rho d theta

int_0^(2 pi) int_0^1 rho^3 sqrt(4 rho^2 + 1) d rho d theta

Passo 3

Integrando em rho , a gente fica com:

int_0^(2 pi) [((6 rho^2 - 1) (4 rho^2 + 1)^((3)/(2)))/(120)]_0^1 d theta

int_0^(2 pi) ((5) (5)^((3)/(2)))/(120) - ((- 1) (1))/(120) d theta

[(25 sqrt(5))/(120) + (1)/(120)]_0^(2 pi)

= (pi)/(60) (25 sqrt(5) + 1)

E pronto!

Resposta

(pi)/(60) (25 sqrt(5) + 1)

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