Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

  1. f(x, y, z) = xy; sigma(u, v) = (u-v, u+v, 2u+v+1), 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= u

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

∂ σ ∂ u = 1 , 1,2

∂ σ ∂ v = - 1,1 , 1

Fazendo o produto vetorial agora:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 1 2 - 1 1 1

= i → 1 2 1 1 - j → 1 2 - 1 1 + k → 1 1 - 1 1

= 1 - 2 i → -   j → 1 + 2 + k → ( 1 + 1 )

= - 1 i → - 3 j → + 2 k →

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = - 1 2 + - 3 2 + 2 2 = 14

Prontinho! Agora é só jogar tudo na fórmula com os intervalos:

∫ 0 1 ∫ 0 u u - v u + v 14   d v d u

14 ∫ 0 1 ∫ 0 u u 2 - v 2   d v d u

= 14 ∫ 0 1 u 2 v - v 3 3 0 u d u

= 14 ∫ 0 1 u 3 - u 3 3 d u

Passo 3

Agora a gente integra em u :

= 14 u 4 4 - u 4 12 0 1

= 14 1 4 - 1 12

= 14 6

E prontinho😉

Resposta

14 6

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