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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1b

Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:

  1. f (x , y , z) = x y ; sigma (u , v) = (u - v , u + v , 2 u + v + 1) , 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= u .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬_K f (sigma (u , v)) ||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

(del sigma)/(del u) = (1 , 1,2)

(del sigma)/(del v) = (- 1,1 , 1)

Fazendo o produto vetorial agora:

(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v) = [[[vec i,vec j,vec k],[1,1,2],[-,1,1,1]]]

= vec i |[[1,2],[1,1]]| - vec j |[[1,2],[-,1,1]]| + vec k |[[1,1],[-,1,1]]|

= (1 - 2) vec i - vec j (1 + 2) + vec k ( 1 + 1 )

= - 1 vec i - 3 vec j + vec 2 k

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| = sqrt((- 1)^2 + (- 3)^2 + 2^2) = sqrt(14)

Prontinho! Agora é só jogar tudo na fórmula com os intervalos:

int_0^1 int_0^u (u - v) (u + v) sqrt(14) d v d u

sqrt(14) int_0^1 int_0^u u^2 - v^2 d v d u

= sqrt(14) int_0^1 [u^2 v - (v^3)/(3)]_0^u d u

= sqrt(14) int_0^1 u^3 - (u^3)/(3) d u

Passo 3

Agora a gente integra em u :

= sqrt(14) [(u^4)/(4) - (u^4)/(12)]_0^1

= sqrt(14) [(1)/(4) - (1)/(12)]

= (sqrt(14))/(6)

E prontinho😉

Resposta

(sqrt(14))/(6)

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