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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1d

Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:

d ) f (x , y , z) = y ; sigma (u , v) = (u , v , 1 - u^2) , 0 <= u <= 1 ; 0 <= v <= sqrt(u) .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬_K f (sigma (u , v)) ||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

(del sigma)/(del u) = (1,0 , - 2 u)

(del sigma)/(del v) = (0,1 , 0)

Fazendo o produto vetorial agora:

(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v) = [[[vec i,vec j,vec k],[1,0,-,2,u],[0,1,0]]]

= vec i |[[0,-,2,u],[1,0]]| - vec j |[[1,-,2,u],[0,0]]| + vec k |[[1,0],[0,1]]|

= (2 u) vec i - vec j (0) + vec k ( 1 )

= - 2 u vec i + 0 vec j + 1 vec k

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| = sqrt((- 2 u)^2 + (0)^2 + ( 1 )^2) = sqrt(4 u^2 + 1)

Prontinho! Agora a gente joga tudo na fórmula:

int_0^1 int_0^(sqrt(u)) v sqrt(4 u^2 + 1) d v d u

Integrando em v a gente tem:

int_0^1 [(v^2)/(2) sqrt(4 u^2 + 1)]_0^(sqrt(u)) d u

int_0^1 (u)/(2) sqrt(4 u^2 + 1) d u

Passo 3

Agora a gente integra em u , fazendo um substituição:

t = 4 u^2 + 1 -> d t = 8 u d u -> (d t)/(8) = u d u

= (1)/(2) * (1)/(8) int sqrt(t) d t

= (1)/(16) [(2)/(3) t^((3)/(2))]

Voltamos para u ...

= (1)/(16) * (2)/(3) [(4 u^2 + 1)^((3)/(2))]_0^1

= (1)/(24) (5 sqrt(5) - 1)

Prontinho😉

Resposta

(1)/(24) (5 sqrt(5) - 1)

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