Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

d) f(x, y, z) = y; sigma(u, v) = (u, v, 1-u^2), 0 <= u <= 1; 0 <= v <= raiz(u).

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

∂ σ ∂ u = 1,0 , - 2 u

∂ σ ∂ v = 0,1 , 0

Fazendo o produto vetorial agora:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 - 2 u 0 1 0

= i → 0 - 2 u 1 0 - j → 1 - 2 u 0 0 + k → 1 0 0 1

= 2 u i → -   j → 0 + k → ( 1 )

= - 2 u i → + 0 j → + 1 k →

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = - 2 u 2 + 0 2 + ( 1 ) 2 = 4 u 2 + 1

Prontinho! Agora a gente joga tudo na fórmula:

∫ 0 1 ∫ 0 u v 4 u 2 + 1   d v d u

Integrando em v a gente tem:

∫ 0 1 v 2 2 4 u 2 + 1 0 u d u

∫ 0 1 u 2 4 u 2 + 1   d u

Passo 3

Agora a gente integra em u , fazendo um substituição:

t = 4 u 2 + 1   → d t = 8 u   d u → d t 8 = u   d u

= 1 2 ⋅ 1 8 ∫ t   d t

= 1 16 2 3 t 3 2

Voltamos para u ...

= 1 16 ⋅ 2 3 4 u 2 + 1 3 2 0 1

= 1 24 5 5 - 1

Prontinho😉

Resposta

1 24 5 5 - 1

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