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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 13

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S

S é a parte do cone z 2 = x 2 + y 2 que está entre os planos z = 1 e z = 3

Passo 1

Fala galera, bora começar? Pra início de conversa, nota o seguinte: O cone tá sendo cortado por dois planos com z > 0 . Portanto se eu fizer:

z 2 = x 2 + y 2

z = ± x 2 + y 2

Eu não vou precisar me preocupar em calcular a integral de superfície pra parte negativa do cone, logo uma parametrização direta do cone é:

φ x , y = x , y , x 2 + y 2

Show de bola, próximo passo!

Passo 2

Nesse passo vamos calcular d S pela expressão:

d S = ∂ φ x , y ∂ x × ∂ φ x , y ∂ y   d x   d y

Calculando essas derivadas a partir da parametrização do passo 1 temos:

∂ φ x , y ∂ x = φ x = 1,0 , x x 2 + y 2  

∂ φ x , y ∂ y = φ y = 0,1 , y x 2 + y 2  

E o produto vetorial fica:

φ x × φ y = i ^ j ^ k ^ 1 0 x x 2 + y 2 0 1 y x 2 + y 2

φ x × φ y = 0 ∙ i ^ + 0 ∙ j ^ + 1 ∙ k ^ - x x 2 + y 2 ∙ i ^ + y x 2 + y 2 ∙ j ^ + 0 ∙ k ^

φ x × φ y = - x x 2 + y 2 ∙ i ^ - y x 2 + y 2 ∙ j ^ + 1 ∙ k ^

φ x × φ y = - x x 2 + y 2 , - y x 2 + y 2 , 1

E a norma:

φ x × φ y = - x x 2 + y 2 2 + - y x 2 + y 2 2 + 1 2

φ x × φ y = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 = 1 + 1 = 2

Show, chegamos a conclusão que:

d S = 2   d x   d y

Passo 3

Agora a gente parte pra integral mesmo. Veja que como:

z 2 = x 2 + y 2

d S = 2   d x   d y

A integral de superfície pode ser reescrita para:

∫ ∫ S   x 2 z 2 d S = 2 ∫ ∫ S   x 2   x 2 + y 2 d x d y

Como a gente ta falando desde o início sobre cones, porque não usar coordenadas polares? Seja:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Vamos ter que:

x 2 + y 2 = r 2

x 2 + y 2 = z 2

→ r 2 = z 2 → z = r  

Ou seja, como a gente tinha 1 ≤ z ≤ 3 , vamos usar os limites de integração 1 ≤ r ≤ 3 . E como o cone ta inteirinho, sem dar menos de uma volta completa no eixo O z , temos também que 0 ≤ θ ≤ 2 π . A integral se torna:

2 ∫ ∫ S   x 2   x 2 + y 2 d x y = 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 3 r cos ⁡ θ 2 ( r 2 )   r   d r   d θ

Onde o r “solto” é o Jacobiano da mudança de coordenadas que fizemos. Não pode esquecer em. Resolvendo então essa integral, temos:

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 3 r 5 cos 2 ⁡ θ d r   d θ

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 2 ∫ 0 2 π r 6 cos 2 ⁡ θ 6 r = 1 r = 3   d θ

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 2 6 ∫ 0 2 π 729 cos 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ   d θ

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 728   2 6 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ   d θ

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 364   2 3 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 182   2 3 ∫ 0 2 π 1   d θ + ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ   d θ

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 182   2 3 θ θ = 0 θ = 2 π + sen ⁡ 2 θ 2 θ = 0 θ = 2 π

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 182   2 3 2 π + sen ⁡ 4 π 2 - sen ⁡ 0 2

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 182   2 3 2 π + 0 - 0

∫ ∫ S   x 2 z 2   d S = 182   2 3 2 π = 364 π 2 3

Resposta

364 π 2 3

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