Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 14
Calcule a integral de superfície.
é a parte da esfera que está acima do cone .
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo bem?
A questão pede a integral de superfície:
Onde é a parte da esfera
que está acima do cone
Podemos usar a equação:
Então, vamos precisar achar uma parametrização para nossa esfera para cada variável , e . Depois, devemos aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:
Depois vamos integrar esses parâmetros para conseguirmos os vetores e e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:
E:
Depois, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!
Vamos lá!
Passo 2
O primeiro passo é parametrizar a superfície. Temos a superfície de uma esfera:
Para parametrizar uma esfera, nada melhor que usarmos as coordenadas esféricas:
O ângulo vai rodar de a , já que temos uma esfera completa:
Já o ângulo parte da parte positiva de mas para onde o cone
Limita nossa esfera. E isso acontece na interseção dessas duas superfícies. Vamos achar essa interseção. Elevando a equação do cone ao quadrado:
Agora igualamos essa equação com a equação da esfera:
Ficamos com
Somando os termos:
Dividindo a equação por :
Como:
Nosso na interseção vale:
Como:
Então:
Aplicando a função arco cosseno dos dois lados da equação:
Assim
E nossa função é:
Substituindo pelos parâmetros:
Passo 3
Agora vamos achar nossos vetores. Os vetores e serão:
- : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:
- : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:
Então:
Integrando cada uma dessas funções em relação a , tratando como constante:
Integrando cada uma dessas funções em relação a , tratando como constante:
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial:
Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:
Agora, podemos tirar o módulo desse nosso vetor:
Assim,
Assim,
Logo,
Então:
Passo 5
Desta forma, podemos escrever a integral como
Como as integrais são independentes, podemos separar cada qual com seu respectivo limite de integração:
Vamos calcular a primeira integral:
Usando a substituição trigonométrica:
Ficamos com:
Resolvendo a integral e aplicando os limites de integração:
Portanto, nem precisamos fazer a segunda integral: