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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 2

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o t   F .   d S

2- F x , y , z = y z   i + x z   j + x y   k

S é a parte do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 que está acima do plano z = 5 , com orientação para cima.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos analisar o que a questão quer.

Ela diz para usar o Teorema de Stokes para calcular

∫ ∫ S r o t   F .   d S

Sendo

F x , y , z = y z   i + x z   j + x y   k

E a superfície S é a parte do paraboloide

z = 9 - x 2 - y 2

Que está acima do plano z = 5 , com orientação para cima.

Ok! Vamos lembrar que o Teorema de Stokes diz o seguinte:

∫ ∫ S r o t   F .   d S = ∫ C F   d r

Primeiro vamos relembrar como se calcular o rotacional:

∇ × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Então, vamos fazer o seguinte:

Calcular o rotacional de F → . E aqui vai um spoiler, ele será 0 ! Mas vamos tirar a prova real calculando a integral de linha.

Na integral de linha, vamos achar a curva C e parametrizar, depois calcular d r → , achar o campo em função da curva e calcular o produto escalar, e finalmente montar a integral e resolver.

Partiu?

Passo 2

Fazendo o determinante que nos dá o rotacional de F nós teremos:

∇ × F → = ∂ x y ∂ y   - ∂ x z ∂ z i + ∂ y z ∂ z   - ∂ x y ∂ x j + ∂ x z ∂ x   - ∂ y z ∂ y k

∇ × F → = x - x i + y - y j + z - z k = ( 0,0 , 0 )

Isso nos diz que a integral é zero!

∫ ∫ S r o t   F .   d S = 0

Poderíamos parar por aqui, mas vamos calcular

∫ C F   d r

Para tirar a prova real!

Passo 3

Vamos utilizar a curva fechada que o paraboloide

z = 9 - x 2 - y 2

Faz com o plano z = 5 para ser o nosso C . Igualando os dois z temos a curva da região fechada:

9 - x 2 - y 2 = 5

x 2 + y 2 = 4

Isso é um círculo completo de raio igual a 2 .

Passo 4

Vamos parametrizar essa curva!

Normalmente, a parametrização de um círculo é assim:

x = r cos ⁡ t

y = r sen ⁡ t

z = z

Como r = 2 e z = 5 ,

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

z = 5

Temos então que

r t = 2 cos ⁡ t   i + 2 sin ⁡ t j + 5 k

Como temos um círculo completo, as funções trigonométricas percorrem 2 π

0 �� t ≤ 2 π

Passo 5

Agora, vamos calcular d r → .

d r → = r ' t

Tomando a derivada de r t :

r ' t = - 2 sin ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j + 0 k d t

Passo 6

Vamos aplicar as coordenadas de r em F . Temos o campo

F x , y , z = y z   i + x z   j + x y   k

Fazendo

F r t

E trocando x , y , z por

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

z = 5

Temos

F r t = 10 sin ⁡ t   i + 10 cos ⁡ t   j + 4 cos ⁡ t s i n   t k

Calculando o produto escalar

F r t     .     r ' t

Vamos ter

F r t     .     r ' t = 10 sin ⁡ t   i + 10 cos ⁡ t   j + 4 cos ⁡ t s i n   t k - 2 sin ⁡ t   i , 2 cos ⁡ t j d t

Fazendo as contas

F r t     .     r ' t = ( - 20 sin 2 ⁡ t + 20 cos 2 ⁡ t )   d t

Como cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ = cos ⁡ 2 x   temos:

F r t     .     r ' t = 20 c o s 2 t   d t

Passo 7

Vamos montar a integral!

∫ C F   d r

Vamos ter

F   d r = 20 c o s 2 t   d t

0 ≤ t ≤ 2 π

Assim:

∫ C F   d r = 20 ∫ 0 2 π c o s 2 t   d t =

Resolvendo a integral:

20 ∫ 0 2 π c o s 2 t   d t = 20 2 [ sin ⁡ 2 t ] 0 2 π

Aplicando os limites:

20 2 [ sin ⁡ 2 t ] 0 2 π = 0

Muito bem! Encontramos que é realmente zero.

Resposta

0

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