Enunciado

1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.)

  1. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   1   -   u   -   v ) ,   u   ≥   0 ,   v   ≥   0   e   u   +   v   ≤   1 .
  2. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   2   -   u   -   v ) ,   u 2   +   v 2     ≤   1 .
  3. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   u 2   +   v 2 ) ,   u 2   +   v 2   ≤   4 .
  4. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   4   -   u 2   -   v 2 ) ,   ( u ,   v )   ∈   K , onde K é o conjunto no plano uv limitado pelo eixo u e pela curva (em coordenadas polares) ρ = e - θ ,   0   ≤   θ   ≤   π
  5. σ   u ,   v =   u ,   v , 1 2 u 2 ,     0 ≤   v   ≤   u   e   u ≤ 2
  6. σ   ( u   v )   =   ( c o s   u ,   v ,   s e n   u ) ,     u 2   +   4 v 2   ≤   1  

Passo 1

O primeiro passo é saber que superfície estamos trabalhando. A parametrização acima nos da

σ   u ,   v =   u ,   v ,   2 -   u   -   v ,

Sob as condições

u 2   +   v 2     ≤   1 .

Isso quer dizer que nossa região é circular

Passo 2

Quando quisermos calcular superfícies temos dois caminhos a seguir

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Ou

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Isso quer dizer que podemos: Parametrizar e calcular a área a partir daí. Projetar no num plano coordenado a superfície e calcular a área nessa superfície. Vou escolher a opção 2.

Passo 3

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Onde nosso z é

z =     2   -   u   –   v

Ou podemos escrever como

z = 2 - x - y

Isso nos dá derivadas parciais da seguinte forma

z x =   - 1

z y =   - 1

Agora vamos jogar nossos dados na integração

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

=   ∫ ∫ R ' 1 + - 1 2 + - 1 2 d y d x

= 3 ∫ ∫ R ' d y d x  

Agora só precisamos encontrar os intervalos de integração. Quando Projetamos a superfície no plano XY obtermos a seguinte região em verde

Como estamos calculando uma região circular é melhor usarmos coordenadas polares para facilitar o cálculo. Lembrando que usamos essa regra

x 2 + y 2 = r 2

J = r

E como estamos num circulo unitário nossos intervalos de integração são

0 < r < 1

0 < θ < 2 π

Assim nossa integral fica

3 ∫ 0 2 π   ∫ 0 1   r     d r d θ

Esse é maneira com integração de calcular a área de um círculo . Já que agora o processo é apenas manual, podemos encurtar ele já que sabemos calcular área de polígonos simples desde o ensino médio, certo? ; )

= 3 * π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S d S = π 3    

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Encontrar a área da superfície do cone z 2 = 3 ( x 2 + y 2 ) interceptado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 .
Calcular a área da parte do paraboloide x = y 2 + z 2 delimitada pelos planos x = 4 e x = 9 .
Determinar a área da porção do plano z = 4 x , cortada pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 .
Determinar a área da porção esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 cortada pela parte superior do cone x 2 + y 2 = z 2 .
Determinar a área da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2= 3 x