Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 1-b
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.)
- , onde K é o conjunto no plano uv limitado pelo eixo u e pela curva (em coordenadas polares) ρ = e
Passo 1
O primeiro passo é saber que superfície estamos trabalhando. A parametrização acima nos da
Sob as condições
Isso quer dizer que nossa região é circular
Passo 2
Quando quisermos calcular superfícies temos dois caminhos a seguir
Ou
Isso quer dizer que podemos: Parametrizar e calcular a área a partir daí. Projetar no num plano coordenado a superfície e calcular a área nessa superfície. Vou escolher a opção 2.
Passo 3
Onde nosso z é
Ou podemos escrever como
Isso nos dá derivadas parciais da seguinte forma
Agora vamos jogar nossos dados na integração
Agora só precisamos encontrar os intervalos de integração. Quando Projetamos a superfície no plano XY obtermos a seguinte região em verde
Como estamos calculando uma região circular é melhor usarmos coordenadas polares para facilitar o cálculo. Lembrando que usamos essa regra
E como estamos num circulo unitário nossos intervalos de integração são
Assim nossa integral fica
Esse é maneira com integração de calcular a área de um círculo . Já que agora o processo é apenas manual, podemos encurtar ele já que sabemos calcular área de polígonos simples desde o ensino médio, certo? ; )
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )