1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.)

  1. σ(u, v) = (u, v, 1 - u - v), u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1.
  2. σ(u, v) = (u, v, 2 - u - v), u² + v² ≤ 1.
  3. σ(u, v) = (u, v, u^2 + v^2), u^2 + v^2 ≤ 4.
  4. σ(u, v) = (u, v, 4 - u^2 - v^2), (u, v) ∈ K , onde K é o conjunto no plano uv limitado pelo eixo u e pela curva (em coordenadas polares) ρ = e - θ, 0 ≤ θ ≤ π
  5. σ(u, v) = (u, v, 1/2 * u^2), 0 ≤ v ≤ u e u ≤ 2
  6. σ(u, v) = (cos u, v, sen u), u² + 4v² ≤ 1

Passo 1

O primeiro passo é saber que superfície estamos trabalhando. A parametrização acima nos da

σ   u ,   v =   u ,   v ,   2 -   u   -   v ,

Sob as condições

u 2   +   v 2     ≤   1 .

Isso quer dizer que nossa região é circular

Passo 2

Quando quisermos calcular superfícies temos dois caminhos a seguir

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Ou

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Isso quer dizer que podemos: Parametrizar e calcular a área a partir daí. Projetar no num plano coordenado a superfície e calcular a área nessa superfície. Vou escolher a opção 2.

Passo 3

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Onde nosso z é

z =     2   -   u   –   v

Ou podemos escrever como

z = 2 - x - y

Isso nos dá derivadas parciais da seguinte forma

z x =   - 1

z y =   - 1

Agora vamos jogar nossos dados na integração

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

=   ∫ ∫ R ' 1 + - 1 2 + - 1 2 d y d x

= 3 ∫ ∫ R ' d y d x  

Agora só precisamos encontrar os intervalos de integração. Quando Projetamos a superfície no plano XY obtermos a seguinte região em verde

Como estamos calculando uma região circular é melhor usarmos coordenadas polares para facilitar o cálculo. Lembrando que usamos essa regra

x 2 + y 2 = r 2

J = r

E como estamos num circulo unitário nossos intervalos de integração são

0 < r < 1

0 < θ < 2 π

Assim nossa integral fica

3 ∫ 0 2 π   ∫ 0 1   r     d r d θ

Esse é maneira com integração de calcular a área de um círculo . Já que agora o processo é apenas manual, podemos encurtar ele já que sabemos calcular área de polígonos simples desde o ensino médio, certo? ; )

= 3 * π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S d S = π 3    

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