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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 1-a

1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.)

  1. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   1   -   u   -   v ) ,   u   ≥   0 ,   v   ≥   0   e   u   +   v   ≤   1 .
  2. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   2   -   u   -   v ) ,   u 2   +   v 2     ≤   1 .
  3. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   u 2   +   v 2 ) ,   u 2   +   v 2   ≤   4 .
  4. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   4   -   u 2   -   v 2 ) ,   ( u ,   v )   ∈   K , onde K é o conjunto no plano uv limitado pelo eixo u e pela curva (em coordenadas polares) ρ = e - θ ,   0   ≤   θ   ≤   π
  5. σ   u ,   v =   u ,   v , 1 2 u 2 ,     0 ≤   v   ≤   u   e   u ≤ 2
  6. σ   ( u   v )   =   ( c o s   u ,   v ,   s e n   u ) ,     u 2   +   4 v 2   ≤   1  

Passo 1

O primeiro passo é saber que superfície estamos trabalhando. A parametrização acima nos da

σ   u ,   v =   u ,   v ,   1   -   u   -   v ,

Sob as condições

  u   ≥   0 ,   v   ≥   0   e   u   +   v   ≤   1 .

Isso quer dizer que nossa região está no primeiro octante. Podemos ver o plano abaixo.

Passo 2

Quando quisermos calcular superfícies temos dois caminhos a seguir

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Ou

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Isso quer dizer que podemos: Parametrizar e calcular a área a partir daí. Projetar no num plano coordenado a superfície e calcular a área nessa superfície. Vou escolher a opção 2.

Passo 3

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Onde nosso z é

z =     1   -   u   –   v

Ou podemos escrever como

z = 1 - x - y

Isso nos dá derivadas parciais da seguinte forma

z x =   - 1

z y =   - 1

Agora vamos jogar nossos dados na integração

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

=   ∫ ∫ R ' 1 + - 1 2 + - 1 2 d y d x

= 3 ∫ ∫ R ' d y d x  

Agora só precisamos encontrar os intervalos de integração. Quando Projetamos a superfície no plano XY obtermos a seguinte região em verde

Entao para descobrir os intervalos podemos fazer o seguinte, olhar primeiro os limites de y

Então começamos de baixo pra cima ( como indica a seta em azul ) na reta y = 0   e terminamos na reta y = 1 - x . E nosso x começa em 0 e termina em 1. Então nossos limites ficam

0 < y < 1 - x

0 < x < 1

3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x   1     d y d x

Esse é maneira com integração de calcular a área de um triângulo. Já que agora o processo é apenas manual, podemos encurtar ele já que sabemos calcular área de polígonos simples desde o ensino médio, certo? ; )

= 3 * 1 2

= 3 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S d S =   3 2    

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Calcular a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 interior ao cilindro y 2 + z 2 = 4 z .
Encontrar a área da superfície do cilindro x 2 + z 2 = 25 limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 , y = 3 .
Determinar a área da superfície plana x + y + z = 8 delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 4
Calcular a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2= 4
Encontrar a área do paraboloide z = x 2 + y 2 limitado superiormente pelo plano z = 2 .