Esboce a curva com equação dada.

r^2 = s e n 2 theta

Passo 1

O problema pede para esboçarmos a curva em coordenadas polares. Neste caso, vamos isolar r primeiro:

r = +- sqrt(s e n 2 theta)

Como o seno está dentro de uma raiz, devemos ter

s e n 2 theta >= 0 => 0 <= 2 theta <= pi

Portanto, theta não pode assumir qualquer valor:

0 <= theta <= (pi)/(2)

Para r = sqrt(s e n 2 theta) , temos que para theta = 0 , r = 0 . Daí, conforme theta cresce, r vai aumentando até que para 2 theta = pi // 2 ( theta = pi // 4 ), r = 1 , que é seu máximo. Em seguida, r vai diminuindo até retornar para r = 0 quando theta = pi // 2 :

Passo 2

Para r = - sqrt(s e n 2 theta) , o comportamento é o mesmo, mas como r < 0 , rebatemos para o quadrante oposto:

Juntando todos os pedaços, encontramos o esboço da curva:

Resposta

Esboço.

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