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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 16

Calcule a integral de superfície.

∬ y 2 d S

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está acima do cone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certo?

A questão pede o valor da integral de superfície:

∬ y 2 d S

Onde:

S é a parte da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1

que está acima do cone

z = x 2 + y 2

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas.

Qualquer superfície S com equação z = g ( x , y ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 d A

Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função z , que o enunciado nos deu como a equação do plano. Daí, é só escrevermos nossa região D como uma integral dupla, achar os limites de integração e resolver nossa integral.

Passo 2

Escrevendo a equação da esfera isolando z , temos:

z = 1 - x 2 - y 2

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Assim:

  • Derivando em x , tratando y como constante:

    • ∂ z ∂ x = - 2 x 2 1 - x 2 - y 2

  • Derivando em y , tratando x como constante:

∂ z ∂ y = - 2 y 2 1 - x 2 - y 2

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1

Aqui f x , y , g x , y é nossa função do integrando:

f x , y , g x , y = y 2

Ficamos com:

y 2 - 2 x 2 1 - x 2 - y 2 2 + - 2 y 2 1 - x 2 - y 2 2 + 1

Somando os termos dentro dos parênteses e simplificando:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = y 2 1 - x 2 - y 2

Passo 3

Portanto,

∬ y 2 d S = ∬ y 2 1 - x 2 - y 2 d x d y

Precisamos dos nossos limites de integração. A questão nos deu a restrição de que nossa esfera até acima do cone

z = x 2 + y 2

Vamos entender qual é a interseção desse cone com a esfera, aplicando a equação do cone na equação da esfera

x 2 + y 2 + x 2 + y 2 2 = 1

Eliminando a raiz quadrada e somando os termos:

2 x 2 + 2 y 2 = 1

Dividindo a equação por 2 .

x 2 + y 2 = 1 2

Como a equação de um círculo com raio r é:

x 2 + y 2 = r 2

Aqui temos uma circunferência de raio:

r = 1 2 = 2 2  

Como nossa região de integração é uma circunferência, podemos escrever nossa integral em ternos de coordenadas polares. Como temos uma circunferência completa centrada na origem e de raio 2 2 nossos limites são:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2 2

Agora precisamos reescrever nossa função do integrando em termos de coordenadas polares:

y 2 1 - x 2 - y 2

Temos as relações:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

d A = r   d r   d θ

Em coordenadas cilíndricas, podemos escrever:

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 sen 2 ⁡ θ 1 - r 2 r d r d θ

Passo 4

Vamos resolver nossa integral:

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ θ   d θ ∫ 0 1 2 r 2 1 - r 2 d r

Para resolver a primeira integral, podemos fazer uso da simplificação trigonométrica

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Para a segunda integral, vamos resolver por substituição! Seja

u = 1 - r 2

Derivando u :

d u = - 2 r d r

d u - 2 = r d r

Os limites também mudam, indo de 0   a   1 / 2 para 1   a   1 / 2 . Assim,

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ   d θ ∫ 1 1 / 2 1 - u u d u - 2

Resolvendo a primeira integral em θ e aplicando seus limites de integração:

∬ f x , y , z d S = θ 2 - 1 4 sen ⁡ 2 θ 0 2 π ∫ 1 1 2 u - 1 2 u d u

Resolvendo a integral em u :

∬ f x , y , z d S = π u u 3 - u 1 1 2

Aplicando os limites de integração:

∬ f x , y , z d S = π 1 2 1 2 3 - 1 2 - π 1 1 3 - 1

Então:

∬ f x , y , z d S = π 12 8 - 5 2

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = π 12 8 - 5 2

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