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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 7

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y z   d S

S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante.

Passo 1

E aí, galera! Tranquilos?

A questão quer o valor da integral:

∫ ∫ S   y z   d S

Onde   S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante.

Bom, para isso podemos usar a equação:

∫ ∫ S   f ( x , y , z )   d S = ∫ ∫ D   f x , y , g x , y 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função z , que o enunciado nos deu como a equação do plano. Daí, é só escrevermos nossa região D como uma integral dupla, achar os limites de integração e resolver nossa integral.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar achando nossa equação z e os limites de integração da nossa região:

Galera, aqui S vai ser a região do plano

x + y + z = 1

Isolando em z :

g x , y = z = 1 - x - y

Nossos limites de integração, serão:

  • Para x : Podemos colocar z = y = 0 para acharmos nosso valor no eixo x :

    • 0 = 1 - x - 0

    Então:

    x = 1

    Como nossa região está limitada pelo primeiro octante, onde x > 0 , teremos:

    0 ≤ x ≤ 1

  • Para y : fazendo z = 0 , achamos a interseção de y no plano x y :

0 = 1 - x - y

Isolando y :

y = 1 - x

Como estamos no primeiro octante, y > 0 , então:

0 ≤ y ≤ 1 - x

Então nossa região D é:

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 1 - x }

Passo 3

Agora vamos calcular nossas derivadas parciais:

  • Derivada em x , tratando y como constante:

    • ∂ z ∂ x = ∂ 1 - x - y ∂ x = - 1

  • Derivada em y , tratando x como constante:

∂ z ∂ y = ∂ 1 - x - y ∂ y = - 1

Substituindo na nossa integral:

∫ ∫ S   y z   d S = ∫ ∫ D   y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Substituímos também:

z = 1 - x - y

E os limites de integração que achamos no passo anterior. Ficamos com:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y 1 - x - y 1 + - 1 2 + - 1 2   d y   d x

Simplificando:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 3   ( y - x y - y 2 )   d y   d x

Passo 4

Show! Agora podemos calcular a integral dupla normalmente:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 3   y - x y - y 2   d y   d x

Começando pelo integrando de y , tratando x como constante:

= ∫ 0 1 3 y 2 2 - x y 2 2 - y 3 3 0 1 - x d x

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 1 3 6 1 - x 3   d x

Agora integramos em x :

∫ 0 1 3 6 1 - x 3   d x = 3 6 - 1 - x 4 4 0 1 Aplicando os limites:

∫ 0 1 3 6 1 - x 3   d x = 3 6 0 + 1 4 = 3 24

Resposta

∫ ∫ S   y z   d S = 3 24

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