Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 48
Encontre a área da superfície.
O helicoide (ou uma rampa espiral) com a equação vetorial , , .
Passo 1
E aí, pessoal! De boa?
A questão pede a área de superfície do helicoide
Onde
,
Aqui, nós temos uma superfície parametrizada em de coordenadas . Nesses casos, usamos a seguinte equação para calcular a área de superfície :
Onde
E:
O que vamos precisar fazer para acharmos nossa área da superfície parametrizada é achar as derivadas parciais das equações de e . Nossa equação paramétrica é:
Então:
Com as derivadas parciais em mãos, teremos e e e podemos calcular seu produto vetorial. Depois, é só calcularmos nossa integral dupla em e com os limites de integração que o próprio enunciado deu.
Bora lá!
Passo 2
Dado que
precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais. Assim:
- :
- :
Substituindo pelas equações paramétricas:
Derivando em , tratando como constante:
Substituindo pelas equações paramétricas:
Derivando em , tratando como constante:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Para isso, montamos uma matriz, onde a primeira linha tem as componentes do vetor, a segunda linha as componentes correspondentes de e a última linha as componentes de :
Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Então:
Agora, tiramos o determinante de cada uma dessas matrizes:
Simplificando:
Agora, podemos obter o módulo do nosso vetor acima:
Como achamos logo acima:
Substituindo na equação do módulo do vetor:
Passo 4
Agora podemos substituir esse valor na nossa equação:
Agora podemos resolver nossa integral dupla, já temos os limites de integração, que são:
Substituindo os limites de integração para cada variável:
Integrando primeiro em , tratando como constante:
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Como passo final, vamos calcular a integral. Para isso, vamos fazer uma substituição trigonométrica:
Dessa forma, a integral fica:
Como
segue que,
Para calcular essa integral, devemos utilizar a integração por partes. Lembrando que:
Escolhendo
Logo,
Como:
Segue que o último integrando pode ser escrito como:
Logo,
Isolando a integral desejada, ficamos com:
Observe que temos, ainda, mais uma integral para calcular... que trabalheira! Porém, para essa última integral, temos um “truque” que, provavelmente, você aprendeu lá em cálculo 1. Você pode reescrever como:
onde multiplicamos e dividimos pelo mesmo fator (ou seja, nada muda). Porém, com isso, conseguimos fazer uma mudança de variável , de forma que:
Que é, justamente, o que temos no nosso numerador... Que sorte! Logo,
Ou ainda,
Voltando para (1), ficamos com:
Ou, finalmente....
Voltando para nossa equação (*), temos que:
Resposta
A área da superfície é: