Encontre a área da superfície.

Parte da superfície que está entre os planos .

Dado que

precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais. Assim:

• Derivada em , tratando como constante:
• Derivada em , tratando como constante:

Portanto, substituindo na equação:

Simplificando:

Aqui nossos limites de integração são dados diretamente:

Então:

Assim nossos limites ficam:

Resolvendo a integral, temos:

Integrando primeiro por dentro em função de , tratando como constante:

Aplicando os limites de integração em e tirando a constante para fora da integral:

Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição! Seja

Derivando :

Isolando :

Os limites de integração vão mudar também. Eles vão mudar de e para e . Assim,

Tirando para fora e simplificando:

Como passo final, vamos calcular a integral. Para isso, vamos fazer uma substituição trigonométrica:

Dessa forma, a integral fica:

Como

segue que,

Para calcular essa integral, devemos utilizar a integração por partes. Lembrando que:

Escolhendo

Logo,

Como:

Segue que o último integrando pode ser escrito como:

Logo,

Isolando a integral desejada, ficamos com:

Observe que temos, ainda, mais uma integral para calcular... que trabalheira! Porém, para essa última integral, temos um “truque” que, provavelmente, você aprendeu lá em cálculo 1. Você pode reescrever como:

onde multiplicamos e dividimos pelo mesmo fator (ou seja, nada muda). Porém, com isso, conseguimos fazer uma mudança de variável

de forma que:

Que é, justamente, o que temos no nosso numerador... Que sorte! Logo,

Ou ainda,

Voltando para (1), ficamos com:

Voltando para nossa equação (*), temos que: