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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 50

Encontre a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = b 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde 0 < a < b .

Passo 1

Fala, galera! Tudo joia?

A questão pede a área de superfície A ( S ) da parte da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = b 2

Que está dentro do cilindro

x 2 + y 2 = a 2

Onde

0 < a < b

Pessoal, se uma superfície S tem uma equaçao da forma z = f ( x , y ) , onde ( x , y ) ∈ D e se f tem derivadas parciais contínuas, temos que:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Então precisamos escrever a equação da nossa esfera em função de z e achar as derivadas parciais dessa equação em relação a x e y . Depois é só substituir na equação de A S , achar os limites de integração e calcular a integral dupla de forma iterada, começando pela integral de dentro.

Vem comigo!

Passo 2

Dado que

x 2 + y 2 + z 2 = b 2

precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais. Podemos reescrever a equação como

z = ± b 2 - x 2 - y 2

Vamos que essa equação descreve a parte de cima da esfera ( + ) e a parte negativa ( - ) . Para facilitar nossa vida, vamos usar a parte positiva da nossa equação para achar a área da metade positiva da esfera. Depois é multiplicarmos a área que acharmos por dois, assim teremos a área total da esfera, então:

z = b 2 - x 2 - y 2

Encontrando as derivadas parciais da nossa função:

  • Derivada em x , tratando y como constante:

    • ∂ z ∂ x = 1 2 b 2 - x 2 - y 2 ⋅ - 2 x = - x b 2 - x 2 - y 2

  • Derivada em y , tratando x como constante:

∂ z ∂ y = 1 2 b 2 - x 2 - y 2 ⋅ - 2 y = - y b 2 - x 2 - y 2

Passo 3

Vamos substituir nossas derivadas na equação:

A S = ∬ 1 + - x b 2 - x 2 - y 2 2 + - y b 2 - x 2 - y 2 2 d A  

Elevando os termos dentro da raiz ao quadrado:

A S = ∬ 1 + x 2 + y 2 b 2 - x 2 - y 2 d A

Fazendo a soma dos termos e simplificando:

A S = ∬ b 2 b 2 - x 2 - y 2   d A

Passo 4

Agora que já temos nossa integral, vamos achar os limites de integração: nós queremos a parte da esfera dentro do cilindro:

x 2 + y 2 = a 2

Podemos ver que o cilindro no plano x y é uma circunferência de raio a . Então, pra descrever essa região podemos usar coordenadas polares r , θ . A relação coordenadas polares e retangulares é:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

Como temos uma circunferência completa de raio a essa é variação de cada variável:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ a

Então, já achamos nossos limites de integração, e nossa integral será:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 a b b 2 - r 2 r d r d θ = b ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r b 2 - r 2 d r

Passo 5

Agora só falta resolvermos nossa integral:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 a b b 2 - r 2 r d r d θ = b ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r b 2 - r 2 d r

Vamos começar pela integral em r :

A S = b ∫ 0 2 π d θ - b 2 - r 2 0 a

Aplicando os limites de integração e já integrando em θ :

A S = b b - b 2 - a 2 θ 0 2 π

Aplicando os limites de θ :

A S = 2 π b b - b 2 - a 2

Como esse valor corresponde somente a metade da área da esfera, a área completa será igual a:

A t S = 2 2 π b b - b 2 - a 2

Então:

A t S = 4 π b b - b 2 - a 2

Resposta

A área da superfície é:

A t S = 4 π b b - b 2 - a 2

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