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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 60

O estudo das ondas de dentes de serra em Engenharia elétrica leva as integrais da forma:

∫ - π ω π ω t s e n k ω t d t

Onde k é um inteiro e ω é uma constante não nula. Calcule a integral.

Passo 1

Vamos resolver essa integral utilizando integração por partes, onde:

u = t

d u = d t

d v = s e n k ω t d t

v = - cos ⁡ k ω t k ω

Aplicando na integral, temos que:

∫ - π ω π ω t s e n k ω t d t = - cos ⁡ k ω t k ω . t - ∫ - cos ⁡ k ω t k ω d t - π ω π ω

∫ - π ω π ω t s e n k ω t d t = - cos ⁡ k ω t k ω . t + 1 k ω   ∫ cos ⁡ k ω t d t - π ω π ω

∫ - π ω π ω t s e n k ω t d t = - cos ⁡ k ω t k ω . t + 1 k 2 ω 2   s e n ( k ω t ) - π ω π ω

∫ - π ω π ω t s e n k ω t d t = 2 π - 1 k + 1 k ω

Resposta

∫ - π ω π ω t s e n k ω t d t = 2 π - 1 k + 1 k ω

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Calcule a integral ∫ x. e x d x Algumas integrais não requerem integração por partes.
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