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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 22

Calcule a integral.

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y

Passo 1

Fala aí galerinha!

Precisamos calcular a integral usando a técnica de integração por partes:

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y

Relembrando, temos que:

int u d v = u v - int v d u

Essa técnica é usada pra integral de produtos, então vamos reescrever nosso integrando como um produto:

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y = int_4^9 ln y y^(- 1 // 2) d y

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Identificando:

u = ln y => d u = d y // y

d v = y^(- 1 // 2) d y => v = 2 y^(1 // 2)

Assim, a integral fica

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y = [2 sqrt(y) ln y]_4^9 - 2 int_4^9 (y^(1 // 2))/(y) d y

[2 sqrt(y) ln y]_4^9 = 2 sqrt(9) ln 9 - 2 sqrt(4) ln 4

[2 sqrt(y) ln y]_4^9 = 6 ln 9 - 4 ln 4

Passo 2

Assim, temos que:

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y = 6 ln 9 - 4 ln 4 - 2 int_4^9 y^(- 1 // 2) d y

Passo 3

Calculando a última primitiva:

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y = 6 ln 9 - 2 ln 4 - 4 [sqrt(y)]_4^9 = 6 ln 9 - 2 ln 4 - 4 (3 - 2) = 6 ln 9 - 2 ln 4 - 4

Resposta

6 ln 9 - 4 ln 4 - 4

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