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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 67

Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 0 2 3 d x 4 + x 2

Passo 1

  1. Sabemos que a função da forma 1 1 + u 2 é a derivada da função de s e n h - 1 u , portanto,

    2. ∫ 0 2 3 d x 4 + x 2 = s e n h - 1 x 2 ] 2 3 0

    Agora jogamos os limites de integração e...

    s e n h - 1 x 2 ] 2 3 0 = s e n h - 1 3 - s e n h - 1 0 = s e n h - 1 3

    Passo 2

  2. Agora, tendo o valor de x = 3 para encontrarmos o valor em termos de logaritmos naturais, basta aplicarmos a fórmula encontrada na tabela da página 430 (exercícios anteriores)...

s e n h - 1 3 = ln ⁡ 3 + 3 2 + 1   = ln ⁡ 3 + 2

Resposta

  1. s e n h - 1 3
  2. ln ⁡ 3 + 2
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Demonstre que se f for ímpar, int_(- a)^a f (x) d x = 0
Para cada uma das seguintes funções, faça o gráfico f ( x ) sobre [ a , b ] e f ( x + c ) sobre [ a - c , b - c ] para se convencer de que a Equação I é razoável. f x = s e n x , a = 0 ,b = π e c = π
Usando substituição, prove que ,para quaisquer números positivosx e y ∫ x x y 1 t d t =∫ 1 y 1 t d t
Para cada uma das seguintes funções, faça o gráfico f ( x ) sobre [ a , b ] e f ( x + c ) sobre [ a - c , b - c ] para se convencer de que a Equação I é razoável. f x = x 2 , a = 0 ,b = 1 e c = 1 .
Se int_(- 2)^2 3 f ( x ) d x = 12 , int_(- 2)^5 f ( x ) d x = 6 , int_(- 2)^5 g ( x ) d x = 2 , determine int_2^5 f ( x ) d x