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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 34

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ x 2 + y 2 x 2 + y 2 x y z d z d x d y

Passo 1

A mudança para o sistema de coordenadas cilíndricas é realizada fazendo a seguinte substituição:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Se fizermos isto, vamos obter algo do tipo:

∬ R ∫ r 2 r r 2 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ z d z d A

Em que R é a projeção do nosso sólido no plano x y , e está relacionado as duas últimas integrais que temos de resolver na integral da questão.

Nosso trabalho é compreender que região é essa para podemos escrevê-la através do sistema de coordenadas cilíndricas (que no plano se transforma no polar). A nossa região consiste em uma região do tipo I com os seguintes limites:

0 ≤ x ≤ 1 - y 2

0 ≤ y ≤ 1

Quando dizemos que 0 ≤ y ≤ 1 , significa que só podemos estar trabalhando com o primeiro e segundo quadrante y > 0 . Além disto, quando dizemos que x ≥ 0 , implica que estamos no primeiro quadrante.

Mas sim, como no primeiro quadrante? Então, a relação sai exatamente pela inequação x ≤ 1 - y 2 . Esta inequação corresponde a uma região circular.

Portanto, essa região consiste em no primeiro quadrante de uma circunferência de raio 1 e centrada na origem. Em coordenadas polares podemos descrevê-la por:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Sendo assim, teremos a seguinte integral em coordenadas cilíndricas:

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ∫ r 2 r r 2 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ z ⋅ r d z d r d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ∫ r 2 r r 3 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ z d z d r d θ

Perceba que apareceu mais um r no integrando. Isto se dá pelo Jacobiano da transformação r d r d θ !

Passo 2

Agora, só nos falta resolvermos a nossa integral! Vamos as contas então!

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ∫ r 2 r r 3 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ z d z d r d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ ⋅ z 2 2 r 2 r d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ r 2 - r 4 2 d r d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 1 2 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ r 5 - r 7 d r d θ = ∫ 0 π 2 1 2 cos ⁡ θ s en ⁡ θ r 6 6 - r 8 8 0 1 d θ

∫ 0 π 2 1 2 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ 1 6 - 1 8 d θ = ∫ 0 π 2 1 2 cos ⁡ θ s e n ⁡ θ 1 24   d θ = ∫ 0 π 2 1 48 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Resolvemos esta integral simples pela técnica da substituição. Para isto, basta fazer u = sen ⁡ θ e d u = cos ⁡ θ d θ .

Desta forma, iremos obter:

∫ 0 π 2 1 48 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = 1 48 ⋅ sen 2 ⁡ θ 2 0 π 2 = 1 48 ⋅ 1 2 - 0 = 1 96

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ x 2 + y 2 x 2 + y 2 x y z d z d x d y = 1 96

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Utilize coordenadas cilíndricasCalcule ∭ E x + y + z d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 .
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 4 , π / 3 , - 2 ) ( 2 , - π / 2,1 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 4 , π / 3 , - 2 ) ( 2 , - π / 2,1 )
Utilize coordenadas cilíndricasCalcule ∭ E z d V , onde E é limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e o plano z = 4 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r