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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 19

Utilize coordenadas cilíndricas

Calcule ∭ E x + y + z d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 .

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo tranquilo?

O exercício pede para calcularmos a integral tripla:

∭ E x + y + z d V

Onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide

z = 4 - x 2 - y 2

O primeiro octante é onde x , y e z são positivos.

Bom, o que falta para calcularmos essa integral tripla são os limites de integração para cada variável, x , y e z .

Então nosso objetivo nessa questão é olharmos o sólido tridimensional e sua projeção no plano x y para entendermos qual o limite de integração de cada variável. A gente consegue isso com a descrição da região E que a questão trouxe.

Com os limites de integração em mãos, é só arranjarmos a integral na ordem que acharmos mais prático e calcular nossa integral iterada, começando da integral de dentro até a integral mais externa.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos encontrar os limites de integração para cada variável.

  • Para x e y :

    • Fazendo z = 0 , conseguimos saber como o sólido se encontra no plano x y :

    0 = 4 - x 2 - y 2

    Rearranjando:

    x 2 + y 2 = 4

    Que é um círculo de raio 2. Então, nossos limites de integração nós vamos expressar em coordenadas cilíndricas, pois esse tipo de coordenada descreve melhor superfícies circulares.

    E os limites de integração serão:

    0 ≤ r ≤ 2

    0 ≤ θ ≤ π / 2

  • Para z :

z = 4 - x 2 - y 2

Para passar nossa equação z para coordenadas cilíndricas, vamos usar a equação

x 2 + y 2 = r 2

Reescrevendo z :

z = 4 - ( x 2 + y 2 )

Substituindo:

z = 4 - r 2

Como estamos no primeiro octante, onde todos os eixos são positivos, nosso limite inferior para z será zero.

Agora reescrevendo nossa função dentro da integral em coordenadas cilíndricas:

f x , y , z = x + y + z

Como para coordenadas cilíndricas, temos:

x = r cos ⁡ θ

E:

y = r sen ⁡ θ

O valor de z é o mesmo para coordenadas cilíndricas e retangulares. Então nossa função será:

f x , y , z = z + r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ

Aplicando nossa função e os novos limites de integração para as coordenadas cilíndricas, a integral que temos que resolver é:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( z + r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ ) r d z d r d θ

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( z + r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ ) r d z d r d θ

Resolvendo a integral de dentro em relação a z , tratando as demais variáveis como constantes:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 r z 2 2 + z r 2 cos ⁡ θ + z r 2 sen ⁡ θ 0 4 - r 2 d r d θ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 r ( 16 - 8 r 2 + r 4 ) 2 + 4 r 2 - r 4 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d r d θ

Integrando agora em relação a r , tratando as demais variáveis como constantes

∫ 0 π / 2 4 r 2 - r 4 + r 6 12 0 2 + cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ 4 r 3 3 - r 5 5 0 2 d θ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π / 2 16 3 + 64 15 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d θ

E por fim integrando em θ e aplicando os limites de integração.

16 3 θ + 64 15 sen ⁡ θ - 64 15 cos ⁡ θ 0 π / 2 = 8 π 3 + 128 15

Resposta

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( z + r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ ) r d z d r d θ = 8 π 3 + 128 15

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