Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 10
Calcule a integral tripla.
, onde é limitado pelos planos e
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo bem por aí?
Esse exercício pede pra gente calcular a integral tripla:
Onde é limitado pelos planos e
Uma integral tripla em relação a é uma integral que está buscando o volume de um sólido:
Acima da região e abaixo de uma função .
Bom, então falta o que falta para calcularmos essa integral tripla são os limites de integração para cada variável, , e .
Então nosso objetivo nessa questão é olharmos o sólido tridimensional e sua projeção no plano , que é a região , para entendermos qual o limite de integração de cada variável.
Com os limites de integração em mãos, é só arranjarmos a integral na ordem que acharmos mais prático e calcular nossa integral iterada, começando da integral de dentro até a integral mais externa.
Vamos juntos!
Passo 2
Vamos começar procurando nossos limites de integração para cada variável.
Pra gente conseguir montar a integral bonitinho, precisamos saber qual será a intersecção dos planos , e com o plano :
- Para :
- Para :
- Para :
Reescrevendo a equação do plano em função de , temos:
Como , temos:
Fazemos e :
Resolvendo a equação:
Como temos como limite o plano , teremos:
Fazendo
Então:
Então já conseguimos escrever a integral dessa forma:
O segredo é deixarmos sempre as integrais que têm limites de integração com variáveis mais para dentro da integral, assim a gente as resolve primeiro.
Passo 3
Agora vamos efetivamente calcular a integral tripla:
Começamos pela integral mais de dentro, em relação a . Aqui as demais variáveis são consideradas constantes:
Aplicando os limites de integração:
Calculando a integral em relação a , tratando outras variáveis como constante:
Aplicando os limites de integração:
Então, nossa integral tripla é:
E encontramos o volume que procurávamos.