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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.5 - Ex. 18h

Esboçar a região de integração e calcular as integrais:

h) ∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 ∫ 4 x 2 + 4 y 2 - 9 3 x 2 + 3 y 2 d z d x d y

Passo 1

Bora continuar!

Nós vamos começar resolvendo as integrais de dentro para fora, ok?

Então vamos começar com a integral:

∫ 4 x 2 + 4 y 2 - 9 3 x 2 + 3 y 2 d z = z   | 3 x 2 + 3 y 2 4 x 2 + 4 y 2 - 9

Aplicando o intervalo:

= 3 x 2 + 3 y 2 - 4 x 2 + 4 y 2 - 9 = 3 x 2 + 3 y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 + 9

= - x 2 - y 2 + 9

Este resultado nós colocamos dentro da segunda integral:

∫ - 9 - y 2 9 - y 2 ( - x 2 - y 2 + 9 ) d x

Agora é só resolver:

= - ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 x 2 d x - ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 y 2 d x + 9 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 d x

= - x 3 3 - y 2 x + 9 x 9 - y 2 - 9 - y 2

E aplicamos este novo intervalo:

= - 1 3 9 - y 2 3 - - 9 - y 2 3 - y 2 9 - y 2 - - 9 - y 2 + 9 ( 9 - y 2 - ( - 9 - y 2 ) )

= - 2 3 9 - y 2 3 2 - 2 y 2 9 - y 2 1 2 + 18 9 - y 2 1 2

Passo 2

Agora colocamos este resultado dentro da última integral:

∫ - 3 3 - 2 3 9 - y 2 3 2 - 2 y 2 9 - y 2 1 2 + 18 9 - y 2 1 2 d x

Para resolver precisamos reorganizar, ok?

= - 2 3 ∫ - 3 3 9 - y 2 3 2 d y - 2 ∫ - 3 3 y 2 9 - y 2 1 2 d y + 18 ∫ - 3 3 9 - y 2 1 2 d y

Vamos começar resolvendo a primeira integral:

- 2 3 ∫ - 3 3 9 - y 2 3 2 d y

Vamos resolver por partes:

u = 9 - y 2 3 2

d u = 3 2 9 - y 2 1 2 - 2 y d x = - 3 y 9 - y 2 1 2 d y

d v = d y

v = y

Então:

= - 2 3 y 9 - y 2 3 2 - ∫ - 3 3 - 3 y 2 9 - y 2 1 2 d y

= - 2 3 y 9 - y 2 3 2 + 3 ∫ - 3 3 y 2 9 - y 2 1 2 d y

Para resolver esta integral faremos:

y = 3   s e n   ( u )

d y = 3 cos ⁡ ( u ) d u

Então:

∫ - 3 3 y 2 9 - y 2 1 2 d y = ∫ π 2 3 π 2 9 . s e n 2 u 9 - 9 . s e n 2 u 1 2 ( 3 cos ⁡ ( u ) d u )

= 81 ∫ π 2 3 π 2 s e n 2 u 1 - s e n 2 u 1 2 ( cos ⁡ ( u ) d u )

Sabendo que:

1 - s e n 2 u = cos 2 ⁡ ( u )

= 81 ∫ π 2 3 π 2 s e n 2 u cos 2 ⁡ ( u ) 1 2 ( cos ⁡ ( u ) d u )

= 81 ∫ π 2 3 π 2 s e n 2 u cos 2 ⁡ ( u ) d u

E usando:

s e n 2 u cos 2 ⁡ ( u ) = 1 - cos ⁡ ( 4 u ) 8

= 81 ∫ π 2 3 π 2 1 - cos ⁡ ( 4 u ) 8 d u

= 81 8 u - ∫ π 2 3 π 2 cos ⁡ 4 u . d u

Chamando:

v = 4 u

d v = 4 d u → d v 4 = d u

= 81 8 u - 1 4 ∫ π 2 3 π 2 cos ⁡ v . d v

= 81 8 u - 1 4 s e n   ( v ) 3 π 2 π 2

Substituindo v:

= 81 8 u - 1 4 s e n   ( 2 u ) 3 π 2 π 2

= 81 8 3 π 2 - π 2 - 1 4 s e n   3 π - s e n   π

= 81 π 8

Substituindo na integral:

= - 2 3 y 9 - y 2 3 2 + 3 81 π 8

Aplicando o intervalo:

- 2 3 ∫ - 3 3 9 - y 2 3 2 d y = - 81 π 4

Passo 3

A segunda integral é:

- 2 ∫ - 3 3 y 2 9 - y 2 1 2 d y

Mas já sabemos que:

∫ - 3 3 y 2 9 - y 2 1 2 d y = 81 π 8

Então:

- 2 ∫ - 3 3 y 2 9 - y 2 1 2 d y = - 2 × 81 π 8 = - 81 π 4

Para finalizar temos a integral:

18 ∫ - 3 3 9 - y 2 1 2 d y

Reorganizando:

= 18 ∫ - 3 3 9 1 - y 2 9 1 2 d y = 18 × 3 ∫ - 3 3 1 - y 2 9 1 2 d y

Chamando:

y = 3 s e n   ( u )

d y = 3 cos ⁡ ( u ) d u

E o novo intervalo será:

s e n   u = - 1 → u = 3 π 2

s e n   u = 1 → u = π 2

= 54 ∫ π 2 3 π 2 1 - 3 s e n   u 2 9 1 2 ( 3 cos ⁡ u d u ) = 162 ∫ π 2 3 π 2 1 - 9   s e n 2   u 9 1 2 ( cos ⁡ ( u ) d u )

= 162 ∫ π 2 3 π 2 1 - s e n 2   u 1 2 ( cos ⁡ ( u ) d u )

Usando a identidade que já aprendemos:

= 162 ∫ π 2 3 π 2 c o s 2   u 1 2 ( cos ⁡ u d u ) = 162 ∫ π 2 3 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) d u

Aplicando a identidade:

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2

Substituindo:

= 243 ∫ π 2 3 π 2 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2 d u

= 81 ∫ π 2 3 π 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 u ) ) d u

= 81 u + ∫ π 2 3 π 2 cos ⁡   2 u d u

Usando uma nova substituição:

w = 2 u

d w = 2 d u → d w 2 = d u

= 81 u + ∫ π 2 3 π 2 cos ⁡   w d w 2   = 81 u + 1 2 ∫ π 2 3 π 2 cos ⁡   w d w  

= 81 u + 1 2 s e n   ( w )   3 π 2 π 2

Substituindo w:

= 81 u + 1 2 s e n   ( 2 u )   3 π 2 π 2

= 81 3 π 2 - π 2   + 1 2 ( s e n   3 π - s e n   π  

Concluindo que:

18 ∫ - 3 3 9 - y 2 1 2 d y = 81 π

Passo 4

Caaaalma que estamos acabando!

Agora só precisamos colocar os resultados na integral do passo 2:

- 2 3 ∫ - 3 3 9 - y 2 3 2 d y - 2 ∫ - 3 3 y 2 9 - y 2 1 2 d y + 18 ∫ - 3 3 9 - y 2 1 2 d y = - 81 π 4 - 81 π 4 + 81 π

= - 162 π 4 + 81 π

Fazendo MMC:

= - 162 π + 324 π 4 = 162 π 4

Terminando:

∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 ∫ 4 x 2 + 4 y 2 - 9 3 x 2 + 3 y 2 d z d x d y = 81 π 2

E acabamos !

Resposta

∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 ∫ 4 x 2 + 4 y 2 - 9 3 x 2 + 3 y 2 d z d x d y = 81 π 2

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Calcule
Calculej) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ 1 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e z ≥ 0 .
Calculef) ∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .
Calculeq) ∫ ∫ ∫ B cos ⁡ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 e x - y ≤ z ≤ x + y .
Calculeh) ∫ ∫ ∫ B y ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .