Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 3
Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas e está no setor especificado:
Passo 1
Olá, meu nobre. Vou te ajudar com essa resolução.
A gente vai encontrar a área que é delimitada pela curva:
No intervalo:
Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral
onde e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .No caso, está bem explicito qual a função e qual intervalo, então basta somente resolver a integral.
Teremos que
onde é uma primitiva de , ou seja, se derivarmos teremos a função dentro da integral.
Passo 2
A área será dada, então, pela integral
Não e possível encontrar uma primitiva para enquanto ela estiver nessa forma, então, vamos usar duas relações trigonométricas para substituir essa função por uma que sabemos como encontrar uma primitiva.
Usando as relações:
e a fórmula do arco duplo do cosseno:
Passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:
Passo 3
Deu um pouco de trabalho, mas precisamos desse processo para encontrar a resposta.
Teremos então
Separando as integrais, e passando a constante para fora teremos:
Uma primitiva da função constante é e uma primitiva da função é , então teremos:
Resposta
Logo, a resposta é: .