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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 2

Calcule a integral int ϴ . c o s ( pi . ϴ ) d ϴ usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = ϴ

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u = (ϴ) ’ . d ϴ

d u = 1 . d ϴ

d u = d ϴ

d v = c o s ( pi . ϴ ) d ϴ

v = int c o s (pi . ϴ) d ϴ

v = (s e n ( pi . ϴ ))/(pi)

OBS: Quando tivermos int c o s ( K . x ) d x , sendo K uma constante, então utilizamos a fórmula que vem do método da substituição: int c o s ( K . x ) d x = (s e n ( K . x ))/(K) +c , o C será acrescentado no resultado final, a constante da questão é π.

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int ϴ . c o s ( pi . ϴ ) d ϴ = ϴ . (s e n ( pi . ϴ ))/(pi) - int (s e n (pi . ϴ))/(pi) d ϴ

= (ϴ . s e n ( pi . ϴ ))/(pi) - (1)/(pi) int s e n (pi . ϴ) d ϴ

= (ϴ . s e n ( pi . ϴ ))/(pi) - (1)/(pi) . ([ - c o s (pi . ϴ) ])/(pi)

= (ϴ . s e n ( pi . ϴ ))/(pi) + (c o s (pi . ϴ))/(pi^2) + c

Resposta

int ϴ . c o s ( pi . ϴ ) d ϴ = (ϴ . s e n ( pi . ϴ ))/(pi) + (c o s (pi . ϴ))/(pi^2) + c

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