Calcule a integral ∫ x . e 3 x   d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   x  

Pois é o valor mais simples de derivar.

d d u   =   1   .   d x        

u   =   ( x ) ’ .   d x                

d u   =   d x  

        d v   =   e 3 x   d x

v   =   ∫ e 3 x   d x

v   =   1 3 .   e 3 x

observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x . e 3 x   d x = x . 1 3 .   e 3 x -   ∫ 1 3 . e 3 x   d x

= x . e 3 x 3 -   1 3 . ∫ e 3 x   d x

=   x . e 3 x 3 -   1 3 . 1 3 . e 3 x  

=   x . e 3 x 3 -   e 3 x 9 + c  

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x . e 3 x   d x =   x . e 3 x 3 -   e 3 x 9 + c  

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