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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 8

Calcule a integral int x . e^(3 x) d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = x

Pois é o valor mais simples de derivar.

d d u = 1 . d x

u = ( x ) ’ . d x

d u = d x

d v = e^(3 x) d x

v = int e^(3 x) d x

v = (1)/(3) . e^(3 x)

observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: int e^(a x) d x = (1)/(a) . e^(a x)

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int x . e^(3 x) d x = x . (1)/(3) . e^(3 x) - int (1)/(3) . e^(3 x) d x

= (x . e^(3 x))/(3) - (1)/(3) . int e^(3 x) d x

= (x . e^(3 x))/(3) - (1)/(3) . (1)/(3) . e^(3 x)

= (x . e^(3 x))/(3) - (e^(3 x))/(9) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int x . e^(3 x) d x = (x . e^(3 x))/(3) - (e^(3 x))/(9) + c

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