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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 4

Calcule a integral int x^2 . s e n x d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = x^2

P o i s é o v a l o r m a i s s i m p l e s d e d e r i v a r .

d u = ( x^2 ) ’ . d x

d u = 2 x . d x

d v = s e n x d x

v = int s e n x d x

v = - c o s x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int x^2 . s e n x d x = x^2 . ( - cos x ) - int ( - cos x ) . 2 x d x

= - x^2 . cos x - ( - 2 ) int x . cos x d x

= - x^2 . cos x + 2 int x . cos x d x

Para continuar desenvolvendo a questão precisamos resolver int x . cos x d x , e a melhor forma é resolvendo por partes:

w = x

d w = ( x ) ’ . d x

d w = 1 . d x

d z = c o s x d x

z = int cos x d x

z = s e n x

int w d z = w . z - int z d w

int x . cos x d x = x . sen x - int s e n x d x

= x . s e n x - ( - cos x )

x . s e n x + cos x

Agora é só substituir o resultado pra continuar o desenvolvimento:

int x^2 . s e n x d x = - x^2 . cos x + 2 int x . cos x d x

= - x^2 . cos x + 2 ( x . s e n x + cos x )

= - x^2 . cos x + 2 x . s e n x + 2 . cos x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int x^2 . s e n x d x = - x^2 . cos x + 2 x . s e n x + 2 . cos x + c

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1. Calcule b ) ∫ x se n ⁡ xd x