Calcule a integral ∫ s e n - 1 y   d y usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   s e n - 1 y  

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u   =   ( s e n - 1 y ) ’ .   d y

d u   =   1   1 - y 2 .   d y  

  d v   =   1   .   d y

v = ∫ 1 . d y

v   =   y

observe que para achar o valor de “du” usamos a fórmula da derivada da função inversa: s e n - 1 x ’ = 1   1 - x 2

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ s e n - 1 y   d y = y .   s e n - 1 y -   ∫ y . 1   1 - y 2 d y

Para poder resolver ∫ y . 1   1 - y 2 d y utilizamos o método da substituição:

∫ y . 1   1 - y 2 d y = ∫ y   1 - y 2 d y

w   =   1 - y 2                                                            

d w   =   ( 1 - y 2 ) ’ d y

d w   =   -   2 . y   d y

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que - 2 - 2 é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

- 2 - 2 ∫ y   1 - y 2 d y

= - 1 2 ∫ - 2 . y   1 - y 2 d y

substituituimos w = 1 - y 2 e dw = - 2.y dy

= - 1 2 ∫ 1   w d w

= - 1 2 ∫ w - 1 2 d w

= - 1 2 .   w - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

= - 1 2 .   w 1 2 1 2

= - w 1 2 =   - w

Por fim retornamos para o valor original

- 1 - y 2

E agora é só colocar esse resultado no lugar de ∫ y . 1   1 - y 2 d y

∫ s e n - 1 y   d y = y .   s e n - 1 y -   ∫ y . 1   1 - y 2 d y

= y .   s e n - 1 y - - 1 - y 2

= y .   s e n - 1 y + 1 - y 2 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ s e n - 1 y   d y = y .   s e n - 1 y + 1 - y 2 + c

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