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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 12

Calcule a integral int s e n^(- 1) y d y usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = s e n^(- 1) y

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u = ( s e n^(- 1) y ) ’ . d y

d u = (1)/(sqrt(1 - y^2)) . d y

d v = 1 . d y

v = int 1 . d y

v = y

observe que para achar o valor de “du” usamos a fórmula da derivada da função inversa: (s e n^(- 1) x) ’ = (1)/(sqrt(1 - x^2))

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int s e n^(- 1) y d y = y . s e n^(- 1) y - int y . (1)/(sqrt(1 - y^2)) d y

Para poder resolver int y . (1)/(sqrt(1 - y^2)) d y utilizamos o método da substituição:

int y . (1)/(sqrt(1 - y^2)) d y = int (y)/(sqrt(1 - y^2)) d y

w = 1 - y^2

d w = ( 1 - y^2 ) ’ d y

d w = - 2 . y d y

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que (- 2)/(- 2) é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

(- 2)/(- 2) int (y)/(sqrt(1 - y^2)) d y

= - (1)/(2) int (- 2 . y)/(sqrt(1 - y^2)) d y

substituituimos w = 1 - y^2 e dw = - 2.y dy

= - (1)/(2) int (1)/(sqrt(w)) d w

= - (1)/(2) int w^(- (1)/(2)) d w

= - (1)/(2) . (w^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)

= - (1)/(2) . (w^((1)/(2)))/((1)/(2))

= - w^((1)/(2)) = - sqrt(w)

Por fim retornamos para o valor original

- sqrt(1 - y^2)

E agora é só colocar esse resultado no lugar de int y . (1)/(sqrt(1 - y^2)) d y

int s e n^(- 1) y d y = y . s e n^(- 1) y - int y . (1)/(sqrt(1 - y^2)) d y

= y . s e n^(- 1) y - (- sqrt(1 - y^2))

= y . s e n^(- 1) y + sqrt(1 - y^2) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int s e n^(- 1) y d y = y . s e n^(- 1) y + sqrt(1 - y^2) + c

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