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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 10

Calcule a integral int (x^2 - 2 x + 1) . e^(2 x) d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

No entanto, caso haja repetições de integração por partes utilizamos uma maneira mais organizada e que facilita os cálculos, que é a integração tabular.

Passo 2

Separamos int (x^2 - 2 x + 1) . e^(2 x) d x em f(x) = (x^2 - 2 x + 1) e g(x) = e^(2 x) ,e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Observe que para integrar g(x) foi utilizada a fórmula : int e^(a x) d x = (1)/(a) . e^(a x)

Passo 3

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

int (x^2 - 2 x + 1) . e^(2 x) d x = (x^2 - 2 x + 1) . (1)/(2) . e^(2 x) - ( 2 x - x ) . (1)/(4) . e^(2 x) + 2 . (1)/(8) . e^(2 x)

= (x^2 - 2 x + 1) . (1)/(2) . e^(2 x) - ( 2 x - 2 ) . (1)/(4) . e^(2 x) + 2 . (1)/(8) . e^(2 x)

= ((x^2)/(2) - x + (1)/(2)) . e^(2 x) - ((x)/(2) - (1)/(2)) . e^(2 x) + (1)/(4) . e^(2 x)

= e^(2 x) . ((x^2)/(2) - (3 x)/(2) + (5)/(4)) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int (x^2 - 2 x + 1) . e^(2 x) d x = e^(2 x) . ((x^2)/(2) - (3 x)/(2) + (5)/(4)) + c

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